Question

已知實數a＜0，函數f（x）=ax（x-1）²+a+1（x∈R）．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）有極大值-7，求實數a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導函數，利用導數的正負，確定函數的單調區(qū)間；
（Ⅱ）根據函數的單調性，確定函數f（x）在x=1處取得極大值-7，從而可求實數a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax（x-1）²+a+1，∴f′（x）=a（3x²-4x+1）．---（2分）
令f′（x）=0，
∵a＜0，∴3x²-4x+1=0，即（3x-1）（x-1）=0，
∴x=

1

3

或x=1
當x∈(

1

3

，1)時，f′（x）＞0，f（x）的單調遞增區(qū)間為(

1

3

，1)
當x∈（-∞，

1

3

）或x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）的單調遞減區(qū)間為（-∞，

1

3

），（1，+∞）．
（Ⅱ）∵x∈（-∞，

1

3

）時，f′（x）＜0，x∈(

1

3

，1)時，f′（x）＞0，x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，
∴f（x）在x=1處取得極大值-7．
即a+1=-7，解得a=-8

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，利用導數的正負，確定函數的單調區(qū)間是關鍵．