Question

（2011•東城區(qū)二模）在平面直角坐標系xOy中，動點P到定點F(0，

1

4

)的距離比點P到x軸的距離大

1

4

，設動點P的軌跡為曲線C，直線l：y=kx+1交曲線C于A，B兩點，M是線段AB的中點，過點M作x軸的垂線交曲線C于點N．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）證明：曲線C在點N處的切線與AB平行；
（Ⅲ）若曲線C上存在關于直線l對稱的兩點，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）動點P到定點F(0，

1

4

)的距離與動點P到直線y=-

1

4

的距離相等．由拋物線定義能求出曲線C的方程．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由

y=x2 y=kx+1

得x²-kx-1=0．所以x₁+x₂=k，x₁x₂=-1．設M（x₀，y₀），則x0=

k

2

．因為MN⊥x軸，所以N點的橫坐標為

k

2

．由此能證明曲線C在點N處的切線與AB平行．
（Ⅲ）設直線l的垂線為l′：y=-

1

k

x+b．代入y=x²，得x2+

1

k

x-b=0．若存在兩點D（x₃，y₃），E（x₄，y₄）關于直線l對稱，則

x3+x4

2

=-

1

2k

，

y3+y4

2

=

1

2k2

+b．由此入手能求出k的取值范圍．

解答：（Ⅰ）解：由已知，動點P到定點F(0，

1

4

)的距離與動點P到直線y=-

1

4

的距離相等．
由拋物線定義可知，動點P的軌跡為以(0，

1

4

)為焦點，
直線y=-

1

4

為準線的拋物線．
所以曲線C的方程為y=x²．         （3分）
（Ⅱ）證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由

y=x2 y=kx+1

得x²-kx-1=0．
所以x₁+x₂=k，x₁x₂=-1．
設M（x₀，y₀），則x0=

k

2

．
因為MN⊥x軸，
所以N點的橫坐標為

k

2

．
由y=x²，可得y′=2x
所以當x=

k

2

時，y′=k．
所以曲線C在點N處的切線斜率為k，
與直線AB平行．（8分）
（Ⅲ）解：由已知，k≠0．
設直線l的垂線為l′：y=-

1

k

x+b．
代入y=x²，可得x2+

1

k

x-b=0（*）
若存在兩點D（x₃，y₃），E（x₄，y₄）關于直線l對稱，
則

x3+x4

2

=-

1

2k

，

y3+y4

2

=

1

2k2

+b
又(

x3+x4

2

，

y3+y4

2

)在l上，
所以

1

2k2

+b=k(-

1

2k

)+1，b=

1

2

-

1

2k2

．
由方程（*）有兩個不等實根
所以△=(

1

k

)2+4b＞0，即

1

k2

+2-

2

k2

＞0
所以

1

k2

＜2，
解得k＜-

2

2

或k＞

2

2

．（13分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，綜合性強，是高考的重點．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，考查運算求解能力，推理論證能力；解題時要注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．