Question

【題目】函數(shù) 在 處取得極值．

（1）求 的單調(diào)區(qū)間；

（2）若 在定義域內(nèi)有兩個不同的零點，求實數(shù) 的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f′（1），求出a的值，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為f（x）=m+1在（0，+∞）內(nèi)有兩個不同的根，結(jié)合函數(shù)的圖象求出m的范圍即可．

試題解析：

（1） ，

，解得 ，

當(dāng) 時， ，

即 ，令 ，解得 ；

令 ，解得 ．

所以 在 處取得極小值， 的單調(diào)遞增區(qū)間為 ，單調(diào)遞減區(qū)間為 ．

（2） 在 內(nèi)有兩個不同的零點，

可轉(zhuǎn)化為 在 內(nèi)有兩個不同的根，

也可轉(zhuǎn)化為 與 的圖象有兩個不同的交點，

由（1）知， 在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增， ，

由題意得， 即

當(dāng) 時， ；

當(dāng) 且 時， ；

當(dāng) 時，顯然 （或者舉例：當(dāng) ， ）．

如圖，

由圖象可知， ，即

由 可得 ．