Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x+

p

x

（p＞0）．
（1）若P=4，判斷f（x）在區(qū)間（0，2）的單調(diào)性，并加以證明；
（2）若f（x）在區(qū)間（0，2）上為單調(diào)減函數(shù)，求實(shí)數(shù)P的取值范圍；
（3）若p=8，方程f（x）=3a-264在x∈（0，2）內(nèi)有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由p=4知，f（x）=x+

4

x

 在（0 2）內(nèi)是減函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性的定義進(jìn)行證明．
（2）任意設(shè) 0＜x₁＜x₂＜2，則由題意可得可得f（x₁）-f（x₂）=（x₂-x₁）•

p-x1•x2

x1•x2

＞0．從而求得p的范圍．
（3）由（2）可知f（x）=x+

8

x

在（0，2）上單調(diào)遞減，可得f（x）＞2+4=6，故有3a-264＞6，由此解得a的范圍．

解答：解：（1）由p=4知，f（x）=x+

4

x

，f（x）在（0 2）內(nèi)是減函數(shù)．
證明：任意設(shè) 0＜x₁＜x₂＜2，
由于f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

4

x1

）-（x₂+

4

x2

）=-（x₂-x₁）+

4(x2-x1)

x1•x2

 
=（x₂-x₁）（

4

x1•x2

-1）=（x₂-x₁）•

4-x1•x2

x1•x2

．
由題設(shè)可得 （x₂-x₁）＞0，0＜x₁•x₂＜4，∴

4-x1•x2

x1•x2

＞0，
故f（x₁）-f（x₂）＞0，即 f（x₁）＞f（x₂），故f（x）在（0 2）內(nèi)是減函數(shù)．
（2）若f（x）在區(qū)間（0，2）上為單調(diào)減函數(shù)，任意設(shè) 0＜x₁＜x₂＜2，
則可得f（x₁）-f（x₂）=（x₂-x₁）•

p-x1•x2

x1•x2

＞0．
由題設(shè)可得 （x₂-x₁）＞0，0＜x₁•x₂＜4，∴p≥4．
（3）由p=8，可得f（x）=x+

8

x

，
由（2）可知f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，∴f（x）＞f（2）=2+

8

2

=6，即 f（x）＞6．
故由方程f（x）=3a-264在x∈（0，2）內(nèi)有實(shí)數(shù)根，可得3a-264＞6，解得a＞90，故a的范圍為（90，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍，屬于中檔題．