Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=ax2+bx在x=1處取得極值2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若（m+3）x﹣x2ex+2x2≤f（x）對(duì)于任意的x∈（0，+∞）成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）=ax3+bx在x=1處取得極值2，

∴ ，解得 ，

∴f（x）=﹣x3+3x

（2）解：∵（m+3）x﹣x2ex+2x2≤f（x）對(duì)于任意的x∈（0，+∞）成立，

∴（m+3）x﹣x2ex+2x2≤﹣x3+3x

m≤xex﹣x2﹣2x于任意的x∈（0，+∞）成立

設(shè)h（x）=xex﹣x2﹣2x，

則h′（x）=ex+xex﹣2x﹣2=（x+1）（ex﹣2），

令h′（x）=0解得x=ln2，

且當(dāng)0＜x＜ln2時(shí)，h′（x）＜0；

當(dāng)x＞ln2時(shí)，h′（x）＞0，

∴h（x）=xex﹣x2﹣2x在（0，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，+∞）上單調(diào)遞增，

∴ ，

∴m≤﹣（ln2）2．

【解析】（1）根據(jù)極值的定義得到關(guān)于a，b的方程組，求出a，b的值，從而求出f（x）的表達(dá)式；（2）問題等價(jià)于m≤xex﹣x2﹣2x于任意的x∈（0，+∞）成立，設(shè)h（x）=xex﹣x2﹣2x，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可．
【考點(diǎn)精析】利用基本求導(dǎo)法則和函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個(gè)函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo)；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．