Question

已知關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1
（Ⅰ）設(shè)集合P={1，2，3}，集合Q={-1，1，2，3，4}，從集合P中隨機取一個數(shù)作為a，從集合Q中隨機取一個數(shù)作為b，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率；
（Ⅱ）設(shè)點（a，b）是區(qū)域

x+y-8≤0 x＞0 y＞0

內(nèi)的隨機點，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．

Answer 1

解（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1的圖象的對稱軸為x=

2b

a

，
要使f（x）=ax²-4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，
當且僅當a＞0且x=

2b

a

≤1，
即2b≤a．
若a=1，則b=-1；
若a=2，則b=-1，1；
若a=3，則b=-1，1，
∴事件包含基本事件的個數(shù)是1+2+2=5
∴所求事件的概率為

5

15

=

1

3

．
（Ⅱ）由（1）知當且僅當2b≤a．且a＞0時，
函數(shù)f（x）=ax²-4bx+1在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，
依條件可知試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為{(a，b)|

a+b-8≤0 a＞0 b＞0

}
構(gòu)成所求事件的區(qū)域為三角形部分．
由

a+b-8=0 b= a 2

，解得a=

16

3

，b=

8

3

，即交點坐標（

16

3

，

8

3

），
∴所求事件的概率為P=

1 2 ×8× 8 3

1 2 ×8×8

=

1

3

．