Question

【題目】已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求零點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求證：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）見解析

【解析】

(I)先把代入得到，根據(jù)零點(diǎn)存在性原理判斷函數(shù)的零點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)和，代入求出切線斜率即可求出切線方程；

(II)先構(gòu)造一個(gè)函數(shù)，利用這個(gè)函數(shù)可得到，從而有，再構(gòu)造，得到，有，再根據(jù)即可證明.

解：（Ⅰ）由題意得：，，定義域?yàn)?/span>，

，

，在上為減函數(shù)．

，

由零點(diǎn)存在定理可知，在上必存在一點(diǎn)使

當(dāng)時(shí)，，即在上為增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，即在上為減函數(shù)，

極大值，

故至多有兩個(gè)零點(diǎn)，又，，

故，是的兩個(gè)零點(diǎn)，由，，

易得出兩切線方程為：或

（Ⅱ）由（Ⅰ）易知，

設(shè)，

，，

在上為增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，即在上為減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，即在上為增函數(shù)，

，即，

設(shè)與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，

，

為增函數(shù)，，

同理設(shè)，

，，

在上為增函數(shù)，，

當(dāng)時(shí)，，即在上為增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，即在上為減函數(shù)，

，即，

設(shè)與的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，

，

為減函數(shù)，，

故：，

得證．