Question

（2012•日照一模）已知函數(shù)f（x）=ax²+1nx（a∈R）．
（Ⅰ）當a=

1

2

時，求f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）如果在公共定義域D上的函數(shù)g（x），f₁（x），f₂（x）滿足f₁（x）＜g（x）＜f₂（x），那么就稱g（x）為f₁（x）、f₂（x）的“活動函數(shù)”，已知函數(shù)f1(x)=(a-

1

2

)x2+2ax+(1-a2)lnx，f2(x)=

1

2

x2+2ax，若在區(qū)間（1，+∞）上，函數(shù)f（x）是f₁（x）、f₂（x）的“活動函數(shù)”，求實數(shù)a的取范圍．

Answer 1

分析：（I）當a=

1

2

時，函數(shù)f（x）=

1

2

x²+1nx，定義域為（0，+∞），確定f（x）在區(qū)間[1，e]上單調增，由此可得結論；
（II）由題意，f1(x)-f(x)=-

1

2

x2+2ax-a2lnx＜0且f2(x)-f(x)=(

1

2

-a)x2+2ax-lnx＞0，在區(qū)間（1，+∞）上恒成立，分別確定函數(shù)的最小與最大，即可求得a的取值范圍．

解答：解：（I）當a=

1

2

時，函數(shù)f（x）=

1

2

x²+1nx，定義域為（0，+∞）
求導函數(shù)可得f′（x）=x+

1

x

＞0在（0，+∞）上恒成立，所以函數(shù)在（0，+∞）上單調增
∴f（x）在區(qū)間[1，e]上單調增
∵f（1）=

1

2

，f（e）=

e2

2

+1
∴f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值為

e2

2

+1和最小值為

1

2

；
（II）由題意，f1(x)-f(x)=-

1

2

x2+2ax-a2lnx＜0且f2(x)-f(x)=(

1

2

-a)x2+2ax-lnx＞0，在區(qū)間（1，+∞）上恒成立
令g(x)=-

1

2

x2+2ax-a2lnx（x＞1），則g′（x）=-

(x-a)2

x

，∴函數(shù)g（x）在（1，+∞）上單調減
∵g（1）=-

1

2

+2a，∴-

1

2

+2a≤0，∴a≤

1

4

；
令h（x）=f₂（x）-f（x）=(

1

2

-a)x2+2ax-lnx，則h′（x）=

(x-1)[(1-2a)x+1]

x

，
又由x∈（1，+∞），且a≤

1

4

，分析易得h′（x）=

(x-1)[(1-2a)x+1]

x

＜0，
即h（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，則h（x）_max=h（1），
只要使h（1）≤0即可，即a-

1

2

-2a≤0，解可得，a≥-

1

2

，
綜合可得，-

1

2

≤a≤

1

4

．

點評：本題考查導數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調性與最值，考查新定義，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．