Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，橢圓上動點P到一個焦點的距離的最小值為3(－1)．

(1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2) 已知過點M(0，－1)的動直線l與橢圓C交于A，B兩點，試判斷以線段AB為直徑的圓是否恒過定點，并說明理由．

Answer 1

【答案】(1)＋＝1；(2)過定點，理由見解析．

【解析】

(1) 橢圓上動點P(x0，y0)到左、右焦點的距離的最小值為a－c，結(jié)合離心率可求得，從而可得，得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2) 先根據(jù)直徑AB豎直和水平兩種情況，猜出定點可能為D(0，3)，再考慮是否為零．

(1) 由題意，得解得所以b2＝a2－c2＝9.

橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1.

(2) 當(dāng)直線l的斜率不存在時，以AB為直徑的圓的方程為x2＋y2＝9；

當(dāng)直線l的斜率為零時，以AB為直徑的圓的方程為x2＋(y＋1)2＝16.

這兩圓僅有唯一公共點，也是橢圓的上頂點D(0，3)．猜想以AB為直徑的圓恒過定點D(0，3)．

證明如下：

(向量法) 設(shè)直線l的方程為y＝kx－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．只要證＝x1x2＋(y1－3)(y2－3)＝x1x2＋(kx1－4)(kx2－4)＝0即可．

即要證＝(1＋k2)x1x2－4k(x1＋x2)＋16＝0.

由消去y，得(1＋2k2)x2－4kx－16＝0，

Δ＝16k2＋64(1＋2k2)>0，此方程總有兩個不等實根x1，x2.

所以x1＋x2＝，x1x2＝.

所以＝(1＋k2)x1x2－4k(x1＋x2)＋16＝－＋16＝0.

所以DA⊥DB，所以，以AB為直徑的圓恒過定點D(0，3)．