精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
(2010•石家莊二模)已知△ABC中,內角A、B、C的對邊的邊長為a、b、c,且bcosC=(2a-c)cosB.
(Ⅰ)求角B的大。
(Ⅱ)若y=cos2A+cos2C,求y的最小值.
分析:(Ⅰ)由正弦定理化簡已知的等式,移項后再利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式變形,根據A為三角形的內角,得到sinA不為0,進而得到cosB的值,再由B為三角形的內角,利用特殊角的三角函數值即可求出B的度數;
(Ⅱ)由第一問求出的B的度數,根據內角和定理得到A+C的度數,進而得到2A+2C的度數,用2A表示出2C,接著把所求的式子利用二倍角的余弦函數公式化簡,把表示出的2C代入,利用兩角和與差的余弦函數公式及特殊角的三角函數值變形,合并后再利用兩角和與差的正弦函數公式把所求式子化為一個角的正弦函數,由2A的范圍,得到這個角的范圍,得到正弦函數的值域,即可得到所求式子的范圍.
解答:解:(Ⅰ)由正弦定理可得:sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB,(2分)
即sin(B+C)=2sinAcosB,
因為0<A<π,所以sinA≠0,
cosB=
1
2

B=
π
3
;(4分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知2A+2C=
3
,
則y=cos2A+cos2C
=
1+cos2A
2
+
1+cos2C
2
=1+
1
2
[cos2A+cos(
3
-2A)]=1+
1
2
(
1
2
cos2A-
3
2
sin2A)

=1-
1
2
sin(2A-
π
6
)

0<2A<
3
,
-
π
6
<2A-
π
6
6
,
-
1
2
<sin(2A-
π
6
)≤1
,(8分)
所以y的取值范圍為[
1
2
,
5
4
)
.(10分)
點評:此題考查了正弦定理,誘導公式,兩角和與差的正弦、余弦函數公式,二倍角的余弦函數公式,以及正弦函數的定義域與值域,熟練掌握公式是解本題的關鍵.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

(2010•石家莊二模)已知定義域為R的函數f(x)在(1,+∞)上為減函數,且函數y=f(x+1)為偶函數,則( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

(2010•石家莊二模)若函數y=f(x)的圖象如圖①所示,則圖②對應函數的解析式可以表示為( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

(2010•石家莊二模)已知動圓M經過點G(0,-1),且與圓Q:x2+(y-1)2=8內切.
(Ⅰ)求動圓M的圓心的軌跡E的方程.
(Ⅱ)以m=(1,
2
)
為方向向量的直線l交曲線E于不同的兩點A、B,在曲線E上是否存在點P使四邊形OAPB為平行四邊形(O為坐標原點).若存在,求出所有的P點的坐標與直線l的方程;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

(2010•石家莊二模)如圖,已知全集為U,A,B是U的兩個子集,則陰影部分所表示的集合是( 。

查看答案和解析>>

同步練習冊答案