Question

已知圓x²+y²=8內(nèi)一點(diǎn)P₀（-1，2），AB為過(guò)點(diǎn)P₀且傾斜角為α的弦．
（1）當(dāng)α=135°時(shí)，求AB的長(zhǎng)．
（2）當(dāng) 弦AB最長(zhǎng)時(shí)，求出直線AB的方程．
（3）當(dāng)弦AB被點(diǎn)P₀平分時(shí)，求出直線AB的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線的傾斜角算出直線的斜率為-1，結(jié)合直線AB過(guò)P₀（-1，2）寫(xiě)出直線AB的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式與垂徑定理加以計(jì)算，即可得到弦AB的長(zhǎng)；
（2）圓的最長(zhǎng)的弦為直徑，由此算出直線OP₀的方程，即得直線AB的方程為2x+y=0；
（3）由P₀為弦AB的中點(diǎn)，可得OP₀⊥AB，因此利用直線的斜率公式算出直線AB的斜率為

1

2

，利用直線方程的點(diǎn)斜式列式，化簡(jiǎn)即可得到直線AB的方程x-2y+5=0．

解答：解：（1）∵直線AB的傾斜角為α，∴直線AB的斜率k=tan135°=-1，
因此，直線AB的方程為y-2=-（x+1），即x+y-1=0
∵圓心O（0，0）到直線AB的距離d=

|-1|

1+1

=

2

2

∴弦長(zhǎng)|AB|=2

r2-d2

=2

8- 1 2

=

30

．
（2）∵圓的最長(zhǎng)的弦為直徑，即經(jīng)過(guò)圓心的弦，
∴弦AB最長(zhǎng)時(shí)，直線AB就是以O(shè)P₀確定的直線，
其方程y=-2x，可得直線AB的方程為2x+y=0；
（3）∵P₀為弦AB的中點(diǎn)，OA=OB，∴OP₀⊥AB
又∵OP₀的斜率kOP0=

2-0

-1-0

=-2，
∴直線AB的斜率為：k_AB=

-1

kOP0

=

1

2

，
∴直線AB的方程為y-2=

1

2

（x+1），化簡(jiǎn)得x-2y+5=0．

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線的基本量與基本形式、直線與圓的位置關(guān)系和點(diǎn)到直線的距離公式等知識(shí)，屬于中檔題．