【題目】已知函數(shù)，是常數(shù)．

（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程，并證明對(duì)任意，切線經(jīng)過定點(diǎn)；

（Ⅱ）證明：時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)、，且．

【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線的切線方程，再根據(jù)方程判斷切線經(jīng)過的定點(diǎn)．（Ⅱ）由題意得函數(shù)在上都為增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得在上有一個(gè)零點(diǎn)．由于，則，利用導(dǎo)數(shù)可得，再根據(jù)單調(diào)性可得結(jié)論成立．

試題解析：

（Ⅰ）由條件得，

∴，

又，

∴所求的切線方程為，

即．

將切線方程變形為，

令時(shí)，可得，

故切線過定點(diǎn)．

（Ⅱ）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，，

∴函數(shù)在區(qū)間和內(nèi)都單調(diào)遞增．

又時(shí)，，

若且，則，

∴在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，從而在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)．

當(dāng)且時(shí)，，

當(dāng)且時(shí)，，

∴在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，從而在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)．

∵，

∴，

∴

，

∴，

∵在區(qū)間單調(diào)遞增，

∴，故得．

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（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)任作一條直線，與橢圓交于不同于點(diǎn)的、兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，記直線、、的斜率分別為、、.試探究與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

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（Ⅱ）經(jīng)過點(diǎn)的兩直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡分別相交于、兩點(diǎn)。是否存在常數(shù)，使得任意滿足的直線恒過線段的中點(diǎn)？請(qǐng)說明理由．

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(1)求動(dòng)點(diǎn)A的軌跡M的方程;

(2)P為軌跡M上的動(dòng)點(diǎn),△PBC的外接圓為☉O1,當(dāng)點(diǎn)P在軌跡M上運(yùn)動(dòng)時(shí),求點(diǎn)O1到x軸的距離的最小值.

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（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

（2）證明：；

（3）若，這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于，求的取值范圍．

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【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）若且，求證： .

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