已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且f(1)=1,若a,b∈[-1,1],a+b≠0時,都有
f(a)+f(b)
a+b
>0

(1)證明函數(shù)a=1在f(x)=-x2+x+lnx上是增函數(shù);
(2)解不等式:f(
1
x-1
)>0,x∈(0,+∞);
(3)若f′(x)=-2x+1+
1
x
=-
2x2-x-1
x
對所有f'(x)=0,任意x=-
1
2
恒成立,求實數(shù)x=1的取值范圍.
(1)設(shè)-1≤x1<x2≤1
∵f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),
∴f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(-x1).
又x1<x2,∴x2+(-x1)=x2-x1>0,由題設(shè)有
f(x2)+f(-x1)
x2+(-x1)
>0,
∴f(x2)+f(-x1)>0即f(x2)>f(x1)∴f(x)在[-1,1]上是增函數(shù)
(2)由(1)知:f(
1
x-1
)>0?f(0)<f(
1
x-1
)

?
-1≤
1
x-1
≤1
0<
1
x-1

?x>1
∴原不等式的解集為x>1.
(3)由(1)知f(x)≤m2-2pm+1對任意x∈[-1,1]恒成立
只需1≤m2-2pm+1對p∈[-1,1]恒成立,即m2-2pm≥0對p∈[-1,1]恒成立設(shè)g(p)=m2-2mp,則
g(-1)≥0
g(1)≥0
?
m2+2m≥0
m2-2m≥0
解得m≤-2或m≥2或m=0
∴m的取值范圍是(-∞,-2]∪[2,+∞)∪{0}.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)是定義在(-4,4)上的奇函數(shù),它在定義域內(nèi)單調(diào)遞減 若a滿足f(1-a)+f(2a-3)小于0,求a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且f(1)=1,若a,b∈[-1,1],a+b≠0時,都有
f(a)+f(b)
a+b
>0

(1)證明函數(shù)a=1在f(x)=-x2+x+lnx上是增函數(shù);
(2)解不等式:f(
1
x-1
)>0,x∈(0,+∞);
(3)若f′(x)=-2x+1+
1
x
=-
2x2-x-1
x
對所有f'(x)=0,任意x=-
1
2
恒成立,求實數(shù)x=1的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

8、已知f(x)是定義在R上的函數(shù),f(1)=1,且對任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1-x,則g(2009)=( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)是定義在實數(shù)集R上的增函數(shù),且f(1)=0,函數(shù)g(x)在(-∞,1]上為增函數(shù),在[1,+∞)上為減函數(shù),且g(4)=g(0)=0,則集合{x|f(x)g(x)≥0}=( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)是定義在(-∞,+∞)上的偶函數(shù),且在(-∞,0)上是增函數(shù),設(shè)a=f(log47),b=f(log
12
3)
,c=f(0.2-0.6),則a,b,c的大小關(guān)系
a>b>c
a>b>c

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