Question

如圖，有一個以圓心角為60°，半徑為

3

km的扇形湖面AOB．現(xiàn)欲在弧AB上任取一點P，作扇形的內(nèi)接矩形PNMQ，使點Q在半徑OA上，點N，M在半徑OB上，將該扇形湖面內(nèi)隔為四個養(yǎng)殖區(qū)域．設(shè)矩形PNMQ區(qū)域的面積為y；
（1）當(dāng)∠POB=45°時，求矩形PNMQ的面積；
（2）設(shè)∠POB=θ，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值．

Answer 1

分析：（1）分別計算MN、PN，即可求得矩形的面積=MN×PN；
（2）計算PN、MN的長，從而可得面積表達(dá)式，再利用輔助角公式化簡函數(shù)，利用角的范圍，即可求得面積的最大值．

解答：解：（1）當(dāng)∠POB=45°時，∵PO=

3

，
∴PN=

3

sin45°=

6

2

，ON=

3

cos45°=

6

2

，
又OM=QMtan30°=

6

2

×

3

3

=

2

2

，
∴MN=ON-OM=

6 - 2

2

，…（3分），
所以矩形的面積=MN×PN=

6 - 2

2

×

6

2

=

3- 3

2

．…（5分）
（2）因為PN=

3

sinθ，ON=

3

cosθ，OM=

3

3

×

3

sinθ=sinθ，
所以MN=ON-OM=

3

cosθ-sinθ…（7分）
∴y=

3

sinθ(

3

cosθ-sinθ)，即y=3sinθcosθ-

3

sin2θ，(θ∈(0，

π

3

))（9分）
∴y=3sinθcosθ-

3

sin2θ=

3

sin(2θ+

π

6

)-

3

2

，…（12分）
∵θ∈(0，

π

3

)，∴2θ+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)…（13分）
所以ymax=

3

2

．…（14分）

點評：本題考查矩形面積的計算，考查三角函數(shù)知識，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．