設(shè)f(x)是定義在[0,1]上的函數(shù),若存在x*∈(0,1),使得f(x)在[0,x•]上單調(diào)遞增,在[x•,1]單調(diào)遞減,則稱f(x)為[0,1]上的單峰函數(shù),x•為峰點,包含峰點的區(qū)間為含峰區(qū)間.
對任意的[0,1]上的單峰函數(shù)f(x),下面研究縮短其含峰區(qū)間長度的方法.
(Ⅰ)證明:對任意的x1,x2∈(0,1),x1<x2,若f(x1)≥f(x2),則(0,x2)為含峰區(qū)間;若f(x1)≤f(x2),則(x1,1)為含峰區(qū)間;
(Ⅱ)對給定的r(0<r<0.5),證明:存在x1,x2∈(0,1),滿足x2-x1≥2r,使得由(Ⅰ)確定的含峰區(qū)間的長度不大于0.5+r;
(Ⅲ)選取x1,x2∈(0,1),x1<x2由(Ⅰ)可確定含峰區(qū)間為(0,x2)或(x1,1),在所得的含峰區(qū)間內(nèi)選取x3,由x3與x1或x3與x2類似地可確定是一個新的含峰區(qū)間.在第一次確定的含峰區(qū)間為(0,x2)的情況下,試確定x1,x2,x3的值,滿足兩兩之差的絕對值不小于0.02且使得新的含峰區(qū)間的長度縮短到0.34.
(區(qū)間長度等于區(qū)間的右端點與左端點之差).
分析:(1)本題是一道新定義題,咋一看挺繁瑣且無從下手,其實這類新定義題目只需牢牢的抓住題干定義,需要分f(x1)≥f(x2)和 f(x1)≤f(x2)兩類情況討論分析;
(2)有了(1)的討論處理,第(2)顯的容易一些,只要借助(1)用r把x1,x2分別表達出來;
(3)本問題是在第(2)問的基礎(chǔ)上又提出的問題,關(guān)鍵是找出以下兩組關(guān)系式:x1+x2=l和x3+x1=x2,
解答:證明:(I)設(shè)x*為f(x)的峰點,則由單峰函數(shù)定義可知,f(x)在[0,x*]上單調(diào)遞增,在[x*,1]上單調(diào)遞減.
當(dāng)f(x
1)≥f(x
2)時,假設(shè)x*∉(0,x
2),則x
1<x
2<x*,從而f(x*)≥f(x
2)>f(x
1),
這與f(x
1)≥f(x
2)矛盾,所以x*∈(0,x
2),即(0,x
2)是含峰區(qū)間.
當(dāng)f(x
1)≤f(x
2)時,假設(shè)x*∉(x
1,1),則x*≤x
1<x
2,從而f(x*)≥f(x
1)>f(x
2),
這與f(x
1)≤f(x
2)矛盾,所以x*∈(x
1,1),即(x
1,1)是含峰區(qū)間.
(II)由(I)的結(jié)論可知:
當(dāng)f(x
1)≥f(x
2)時,含峰區(qū)間的長度為l
1=x
2;
當(dāng)f(x
1)≤f(x
2)時,含峰區(qū)間的長度為l
2=1-x
1;
對于上述兩種情況,由題意得
①
由①得1+x
2-x
1≤1+2r,即x
2-x
1≤2r
又因為x
2-x
1≥2r,所以x
2-x
1=2r,②
將②代入①得
x
1≤0.5-r,x
2≥0.5-r,③
由①和③解得x
1=0.5-r,x
2=0.5+r.
所以這時含峰區(qū)間的長度l
1=l
1=0.5+r,即存在x
1,x
2使得所確定的含峰區(qū)間的長度不大于0.5+r.
(III)解:對先選擇的x
1;x
2,x
1<x
2,由(II)可知
x
1+x
2=l,④
在第一次確定的含峰區(qū)間為(0,x
2)的情況下,x
3的取值應(yīng)滿足
x
3+x
1=x
2,⑤
由④與⑤可得
,
當(dāng)x
1>x
3時,含峰區(qū)間的長度為x
1.
由條件x
1-x
3≥0.02,得x
1-(1-2x
1)≥0.02,從而x
1≥0.34.
因此,為了將含峰區(qū)間的長度縮短到0.34,只要取x
1=0.34,x
2=0.66,x
3=0.32.
點評:新定義題目一定要注意舍得花時間讀懂、理解好定義,這是解決問題的關(guān)鍵所在.另外,證明要注意本題的矛盾手法的使用.本題的是借用新定義的手法考查學(xué)生對分段函數(shù)的理解和掌握,分段函數(shù)的學(xué)習(xí)一向是高中學(xué)習(xí)的難點.