Question

【題目】對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，定義max{a，b}= ， 已知在[﹣2，2]上的偶函數(shù)f（x）滿足當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f（x）=max{2x﹣1，2﹣x}若方程f（x）﹣mx+1=0恰有兩個(gè)根，則m的取值范圍是（　�。�
A.[﹣2，﹣eln2）∪（eln2，2]
B.[﹣eln2，0）∪（0，eln2]
C.[﹣2，0）∪（0，2]
D.[﹣e，﹣2）∪（2，e]

Answer 1

【答案】A
【解析】當(dāng)1≤x≤2時(shí)，2x﹣1＞2﹣x，此時(shí)f（x）=2x﹣1，
當(dāng)0≤x≤1時(shí)，2x﹣1＜2﹣x，此時(shí)f（x）=2﹣x，
即f（x）= ，
若﹣2≤x≤﹣1，則1≤﹣x≤2，此時(shí)f（﹣x）=2﹣x﹣1，
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x）=f（﹣x）=2﹣x﹣1，﹣2≤x≤﹣1．
若﹣1≤x≤0，則0≤﹣x≤1，此時(shí)f（﹣x）=2﹣x，
∵f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x）=f（﹣x）=2﹣x，﹣1≤x≤0．
作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
由f（x）﹣mx+1=0得f（x）=mx﹣1，
設(shè)g（x）=mx﹣1，
則當(dāng)m=0時(shí)，f（x）與g（x）沒有交點(diǎn)，此時(shí)不滿足條件．
當(dāng)m＞0時(shí)，當(dāng)x=1，f（1）=1，當(dāng)x=2時(shí)，f（2）=3，
當(dāng)直線經(jīng)過A（1，1）時(shí)，此時(shí)m﹣1=1，則m=2，此時(shí)g（x）=2x﹣1，
g（2）=3，即直線g（x）=2x﹣1經(jīng)過A，C點(diǎn)，此時(shí)兩個(gè)曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足條件，
當(dāng)直線y=mx﹣1與f（x）=2x﹣1相切時(shí)，
設(shè)切點(diǎn)為（k，n），
則f′（k）=2kln2，且2k﹣1=n，
則切線方程為y﹣n=2kln2（x﹣k），
即y=（2kln2）x﹣k2kln2+2k﹣1，
即2kln2=m，且﹣k2kln2+2k﹣1=﹣1，
即2kln2=m，且﹣k2kln2+2k=0，
2kln2=m，且﹣kln2+1=0，
即kln2=1，解得k==log2e，
則m==eln2，
此時(shí)直線和f（x）只有一個(gè)交點(diǎn)，
若時(shí)兩個(gè)曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則eln2＜m≤2，
根據(jù)偶函數(shù)的對(duì)稱性知當(dāng)m＜0時(shí)，﹣2≤m＜eln2，
綜上m的取值范圍是[﹣2，﹣eln2）∪（eln2，2]，
故選：A

根據(jù)條件先求出當(dāng)0≤x≤2時(shí)，函數(shù)f（x）的解析式，然后根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)在[﹣2，2]上解析式，利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的相交問題，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率進(jìn)行求解即可。