已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短軸長(zhǎng)為2,且與拋物線(xiàn)y2=4
3
x
有共同的焦點(diǎn),橢圓C的左頂點(diǎn)為A,右頂點(diǎn)為B,點(diǎn)P是橢圓C上位于x軸上方的動(dòng)點(diǎn),直線(xiàn)AP,BP與直線(xiàn)y=3分別交于G,H兩點(diǎn).
(I)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)求線(xiàn)段GH的長(zhǎng)度的最小值;
(Ⅲ)在線(xiàn)段GH的長(zhǎng)度取得最小值時(shí),橢圓C上是否存在一點(diǎn)T,使得△TPA的面積為1,若存在求出點(diǎn)T的坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由.
分析:(I)由橢圓和拋物線(xiàn)y2=4
3
x
有共同的焦點(diǎn),求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)a2=b2+c2,即可求得橢圓C的方程;
(Ⅱ)根據(jù)(I)寫(xiě)出點(diǎn)A,B,設(shè)點(diǎn)P和直線(xiàn)AP,BP的方程,并且與直線(xiàn)y=3分聯(lián)立,求出G,H兩點(diǎn),根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式,根據(jù)求函數(shù)的最值方法可求;
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,當(dāng)GH的長(zhǎng)度取最小值時(shí),可求直線(xiàn)AP的方程及點(diǎn)P,若橢圓C上存在點(diǎn)T,使得△TPA的面積等于1,則點(diǎn)T到直線(xiàn)AP的距離是定值,利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可解.
解答:解:(I)由已知得,拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為(
3
,0)
,則c=
3
,又b=1.
由a2-b2=c2,可得a2=4.
故橢圓C的方程為
x2
4
+y2=1

(Ⅱ)直線(xiàn)AP的斜率k顯然存在,且k>0,故可設(shè)直線(xiàn)AP的方程為y=k(x+2),從而G(
3
k
-2,3)

y=k(x+2)
x2
4
+y2=1.
得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.
設(shè)P(x1,y1),則(-2)x1=
16k2-4
1+4k2
.所以x1=
2-8k2
1+4k2
,從而y1=
4k
1+4k2

P(
2-8k2
1+4k2
,
4k
1+4k2
)
,又B(2,0),
則直線(xiàn)PB的斜率為-
1
4k

y=-
1
4k
(x-2)
y=3.
x=-12k+2
y=3.

所以H(-12k+2,3).
|GH|=|
3
k
-2+12k-2|=|
3
k
+12k-4|

又k>0,
3
k
+12k≥2
3
k
•12k
=12

當(dāng)且僅當(dāng)
3
k
=12k
,即k=
1
2
時(shí)等號(hào)成立.
所以當(dāng)k=
1
2
時(shí),線(xiàn)段GH的長(zhǎng)度取最小值8.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,當(dāng)GH的長(zhǎng)度取最小值時(shí),k=
1
2

則直線(xiàn)AP的方程為x-2y+2=0,此時(shí)P(0,1),|AP|=
5

若橢圓C上存在點(diǎn)T,使得△TPA的面積等于1,則點(diǎn)T到直線(xiàn)AP的距離等于
2
5
5

所以T在平行于AP且與AP距離等于
2
5
5
的直線(xiàn)l上.
設(shè)直線(xiàn)l:y=
1
2
x+t

則由
y=
1
2
x+t
x2
4
+y2=1.
得x2+2tx+2t2-2=0.
△=4t2-8(t2-1)≥0.即t2≤2.
由平行線(xiàn)間的距離公式,得
|2-2t|
5
=
2
5
5

解得t=0或t=2(舍去).
可求得T(
2
,
2
2
)
T(-
2
,-
2
2
)
點(diǎn)評(píng):此題是個(gè)難題.本題考查了橢圓的定義、橢圓與雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系,是一道綜合性的試題,考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力.其中問(wèn)題(III)是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題,考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力,
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
1
2
,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,
3
2
)

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)F是橢圓C的左焦,判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2
3
,右焦點(diǎn)F與拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)重合,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn),點(diǎn)D(-4,0),且滿(mǎn)足
DA
DB
,若λ∈[
3
8
1
2
],求直線(xiàn)AB的斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,
3
2
),且離心率e=
3
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)B(-1,0)能否作出直線(xiàn)l,使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O.若存在,求出直線(xiàn)l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•房山區(qū)二模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4,離心率為
1
2

(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(0,-2)的直線(xiàn)l交橢圓于M,N兩點(diǎn),且M,N不與橢圓的頂點(diǎn)重合,若以MN為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A,求直線(xiàn)l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短軸長(zhǎng)為2,離心率為
2
2
,設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,過(guò)A,B作直線(xiàn)x=2的垂線(xiàn)AP,BQ,垂足分別為P,Q.記λ=
AP+BQ
PQ
,若直線(xiàn)l的斜率k≥
3
,則λ的取值范圍為
 

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