【題目】已知橢圓C: (a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)( ,1),過(guò)點(diǎn)A(0,1)的動(dòng)直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),當(dāng)直線l過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)時(shí),直線l的斜率為 .
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在與點(diǎn)A不同的定點(diǎn)B,使得∠ABM=∠ABN恒成立?若存在,求出點(diǎn)B的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)
解:橢圓C: (a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)( ,1),
可得 + =1,又設(shè)左焦點(diǎn)為(﹣c,0),有 = ,
即c= ,a2﹣b2=2,解得a=2,b= ,
則橢圓方程為
(2)
解:假設(shè)存在與點(diǎn)A不同的定點(diǎn)B,使得∠ABM=∠ABN恒成立.
當(dāng)直線MN的斜率為0時(shí),由對(duì)稱(chēng)性可得B在y軸上,設(shè)為B(0,t),
設(shè)直線MN的方程為x=my+1,
代入橢圓方程可得,(2+m2)y2+2my﹣3=0,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
可得y1+y2=﹣ ,y1y2=﹣ ,
由假設(shè)可得kBM+kBN=0,
即為 + =0,
即有x1y2+x2y1=t(x1+x2),
即m(y1+1)y2+(my2+1)y1=t[m(y1+y2)+2],
即有2my1y2+(y1+y2)=t[m(y1+y2)+2],
即為 ﹣ =t(﹣ +2),
化為﹣8m=4t,即t+2m=0,由于m為任意的,則t不為定值.
故不存在與點(diǎn)A不同的定點(diǎn)B,使得∠ABM=∠ABN恒成立
【解析】(1)將點(diǎn)( ,1)代入橢圓方程,設(shè)左焦點(diǎn)為(﹣c,0),再由斜率公式,可得c的值,結(jié)合a,b,c的關(guān)系,即可得到橢圓方程;(2)假設(shè)存在與點(diǎn)A不同的定點(diǎn)B,使得∠ABM=∠ABN恒成立.當(dāng)直線MN的斜率為0時(shí),由對(duì)稱(chēng)性可得B在y軸上,設(shè)為B(0,t),設(shè)直線MN的方程為x=my+1,代入橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理,設(shè)M(x1 , y1),N(x2 , y2),由假設(shè)可得kBM+kBN=0,化簡(jiǎn)整理,可得t+2m=0,故不存在這樣的定點(diǎn)B.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知P是函數(shù)f(x)=ex(x>0)的圖象上的動(dòng)點(diǎn),該圖象在點(diǎn)P處的切線l交y軸于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)P作l的垂線交y軸于點(diǎn)N,設(shè)線段MN的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為t,則t的最大值是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ=2sinθ,它在點(diǎn) 處的切線為直線l.
(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知點(diǎn)P為橢圓 =1上一點(diǎn),求點(diǎn)P到直線l的距離的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn , 且a6=0,S4=14.
(1)求an;
(2)將a2 , a3 , a4 , a5去掉一項(xiàng)后,剩下的三項(xiàng)按原來(lái)的順序恰為等比數(shù)列{bn}的前三項(xiàng),求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),若g(x)=f(x+1)+5,g′(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù),對(duì)x∈R,總有g(shù)′(x)>2x,則g(x)<x2+4的解集為 .
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【題目】中國(guó)有個(gè)名句“運(yùn)籌帷幄之中,決勝千里之外”,其中的“籌”原意是指《孫子算經(jīng)》中記載的算籌,古代是用算籌來(lái)進(jìn)行計(jì)算,算籌是將幾寸長(zhǎng)的小竹棍擺在平面上進(jìn)行運(yùn)算,算籌的擺放形式有縱橫兩種形式,如圖,當(dāng)表示一個(gè)多位數(shù)時(shí),像阿拉伯計(jì)數(shù)一樣,把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列,但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間,個(gè)位,百位,萬(wàn)位數(shù)用縱式表示,十位,千位,十萬(wàn)位用橫式表示,以此類(lèi)推.例如 6613 用算籌表示就是 ,則 8335 用算籌可表示為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2016年雙十一期間,某電子產(chǎn)品銷(xiāo)售商促銷(xiāo)某種電子產(chǎn)品,該產(chǎn)品的成本為2元/件,通過(guò)市場(chǎng)分析,雙十一期間該電子產(chǎn)品銷(xiāo)售量y(單位:千件)與銷(xiāo)售價(jià)格x(單位:元)之間滿足關(guān)系式:y= +2x2﹣35x+170(其中2<x<8,a為常數(shù)),且已知當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)格為3元/件時(shí),該電子產(chǎn)品銷(xiāo)售量為89千件. (Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值及雙十一期間銷(xiāo)售該電子產(chǎn)品獲得的總利潤(rùn)L(x);
(Ⅱ)銷(xiāo)售價(jià)格x為多少時(shí),所獲得的總利潤(rùn)L(x)最大?并求出總利潤(rùn)L(x)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) ,g(x)=x2eax(a<0). (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若對(duì)任意x1 , x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2)恒成立,求a的取值范圍.
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