Question

（本小題滿分12分）

    已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f(x)＝－x²＋2x＋2.

 (1)求f(x)的解析式；

 (2)畫出f(x)的圖象，并指出f(x)的單調(diào)區(qū)間．

 

Answer 1

【答案】

　(1) f(x)＝.

(2)其增區(qū)間為[－1,0)及(0,1]，減區(qū)間為(－∞，－1]及[1，＋∞)．

【解析】本試題主要是考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合運(yùn)用

（1）先根據(jù)已知條件，將函數(shù)設(shè)x＜0，則－x＞0，所以f(－x)＝－(－x)²－2x＋2＝－x²－2x＋2，得到解析式。

（2）畫出函數(shù)的 圖像。，結(jié)合圖像的餓到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

　(1)設(shè)x＜0，則－x＞0，所以f(－x)＝－(－x)²－2x＋2＝－x²－2x＋2，

又∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x²＋2x－2，

又f(0)＝0，∴f(x)＝.

(2)先畫出y＝f(x)(x＞0)的圖象，利用奇函數(shù)的對稱性可得到相應(yīng)y＝f(x)(x＜0)的圖象，其圖象如圖所示：由圖可知，其增區(qū)間為[－1,0)及(0,1]，減區(qū)間為(－∞，－1]及[1，＋∞)．