四棱錐底面是平行四邊形，面面,,,分別為的中點.

（1）求證：；
（2）求二面角的余弦值.
（1）證明過程詳見解析；（2）二面角的余弦值為.

試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景考查線面平行的判斷和二面角的求法，可以運用傳統(tǒng)幾何法，也可以用空間向量方法求解，突出考查空間想象能力和計算能力.法一：第一問，先作輔助線，利用中位線證，由中點得，所以得，所以，是平行四邊形，得到，所以得出結(jié)論面；第二問，先作二面角的平面角，先通過已知證明是二面角的平面角，再證明是直角三角形，在這個直角三角形中求出，再求.法二：（1）先由余弦定理證明，得，由此建系，寫出各點坐標(biāo)，求，求出面的法向量，由得面；（2）先求面的法向量，面的法向量，由公式，由已知二面角為銳角得出結(jié)論.
試題解析：（1）取的中點，連，由題意設(shè)，     2分
，
是平行四邊形,所以    4分
面，面，∴面   6分

(2)取 的中點,連，   8分
是等邊三角形，∴，

∴,
是二面角的平面角                             10分
知 面，，
在中，，                    12分
即二面角的余弦值為               14分

解法二 （1）中，，，
由余弦定理
所以，，所以，，
所以，面面，，∴面，            2分
建系，令 ，

,
         ..4分
因為平面PAB的法向量
，∴面，     ..6分
(2) 設(shè)平面PAD的法向量為  
,    8分
     10分
令所以    12分
平面的法向量   13分
，即二面角的余弦值為         14分
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖,直棱柱中,分別是的中點,.

⑴證明:;
⑵求EC與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，邊長為2的正方形ABCD，E,F分別是AB,BC的中點，將△AED，△DCF分別沿DE,DF折起，使A,C兩點重合于.

(1)求證：⊥EF;
(2)求二面角的平面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，長方體中，，點E是AB的中點.

（1）證明：平面;
（2）證明：;
（3）求二面角的正切值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，AC是圓O的直徑，點B在圓O上，，交AC于點M，EA⊥平面ABC，F(xiàn)C∥EA，AC=4，EA=3，F(xiàn)C=1,

（1）證明；
（2）（文科）求三棱錐的體積
（理科）求平面和平面所成的銳二面角的正切值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在四棱錐A-BCDE中，側(cè)面∆ADE是等邊三角形，底面BCDE是等腰梯形，且CD∥BE,DE=2，CD=4, ,M是DE的中點，F(xiàn)是AC的中點，且AC=4，

求證：（1）平面ADE⊥平面BCD;
(2)FB∥平面ADE.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

下面是空間線面位置關(guān)系中傳遞性的部分相關(guān)命題：
①與兩條平行線中一條平行的平面必與另一條直線平行；
②與兩條平行線中一條垂直的平面 必與另一條直線垂直；
③與兩條垂直直線中一條平行的平面必與另一條直線垂直；
④與兩條垂直直線中一條垂直的平面必與另一條直線平行；
⑤與兩個平行平面中一個平行的直線必與另一個平面平行；
⑥與兩個平行平面中一個垂直的直線必與另一個平面垂直；
⑦與兩個垂直平面中一個平行的直線必與另一個平面垂直；
⑧與兩個垂直平面中一個垂直的直線必與另一個平面平行.
其中正確的命題個數(shù)有________個.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

如圖，空間中兩個有一條公共邊AD的正方形ABCD和ADEF．設(shè)M、N分別是BD和AE的中點，那么        

①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；③MN∥CE；④MN、CE異面
以上4個命題中正確的是  

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

對于直線，和平面，，使成立的一個充分條件是（  ）
A．，∥B．∥，
C．，，D．，，

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