Question

已知函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d在（-∞，0]上是增函數(shù)，在[0，1]上是減函數(shù)，其中b、c、d都是實(shí)數(shù)．
（I）求c的值；
（II）求b的取值范圍；
（III）當(dāng)b≠-3時(shí)，令g（x）=

f(x)-f(1) x-1 ，x≠1 3+2b，x=1

，若g（x）的最小值為h（b），求h（b）的最大值．

Answer 1

分析：（I）據(jù)題意，所以0是f（x）的極大值點(diǎn)，判斷出0是f（x）的極大值點(diǎn)，得到f′（0）=0，求出c=0；
（II），當(dāng)b＞0時(shí)，由f′（x）＜0得到函數(shù)的遞減區(qū)間為(-

2b

3

，0)與在[0，1]上是減函數(shù)矛盾，不合題意．當(dāng)b＜0時(shí)，由f′（x）＜0得到函數(shù)的遞減區(qū)間為(0，-

2b

3

)，令-

2b

3

≥1得b的范圍．
（III）求出g（x）的解析式，分段求出各段函數(shù)的最小值，比較出最小值h（b），利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出h（b）的最大值．

解答：解：（I）據(jù)題意，f′（x）=3x²+2bx+c≥0在（-∞，0]上恒成立，
且f′（x）=3x²+2bx+c≤0在[0，1]上恒成立，
所以0是f（x）的極大值點(diǎn)，
所以f′（0）=0，
所以c=0
（II），由（I）知，f′（x）=3x²+2bx=x（3x+2b），
當(dāng)b＞0時(shí)，由f′（x）＜0解得-

2b

3

＜x＜0，
所以函數(shù)的遞減區(qū)間為(-

2b

3

，0)與在[0，1]上是減函數(shù)矛盾，不合題意．
當(dāng)b＜0時(shí)，由f′（x）＜0解得0＜x＜-

2b

3

，
所以函數(shù)的遞減區(qū)間為(0，-

2b

3

)，
因?yàn)楹瘮?shù)在[0，1]上是減函數(shù)，
所以f′（x）≤0在[0，1]上恒成立，
所以-

2b

3

≥1解得b≤-

3

2

（III）g(x)=

x2+(1+b)x+1+b    (x≠1) 3+2b                    (x=1)

當(dāng)x≠1時(shí)，b≠-3時(shí)，g(x)min=

-b2+2b+3

4

，
因?yàn)?span id="dl5jbvp" class="MathJye">

-b2+2b+3

4

-(3+2b)=-

1

4

(b+3)2≤0，
所以x∈R時(shí)，h（b）=g(x)min=

-b2+2b+3

4

，
又b≤-

3

2

，b≠-3時(shí)，h（b）是關(guān)于b的增函數(shù)，
所以h(b)max=h(-

3

2

)=-

9

16

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0，函數(shù)遞增時(shí)，導(dǎo)函數(shù)大于等于0；考查分段函數(shù)的最值應(yīng)該分段來求，屬于較難的題．