已知函數(shù)f(n)>0(nÎN*)，且對一切自然數(shù)n，都有f2(n)£f(n)-f(n+1)，求證：。

答案：
解析：

證明：∵ f(n)>0，f2(n)£f(n)-f(n+1)，∴ f(n)[1-f(n)]³f(n+1)>0，f(n)<1。

又∵ f(n)-f(n+1)³f 2(n)>0，∴ f(n)>f(n+1)。

（1）當(dāng)n=1時，∵ f(1)<1，∴ 不等式成立。

（2）假設(shè)n=k時，不等式成立，即，則n=k+1時。

∵ f(k+1)£f(k)[1-f(k)]<f(k)[1-f(k+1)]。

∴ ，∴ n=k+1時，不等式成立。

∴ 對nÎN*，均有。


提示：

判斷f(n)的增減性。


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x-1-lnx．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）求證：當(dāng)n∈N*時，e1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
＞n+1；
（3）對于函數(shù)h（x）和g（x）定義域上的任意實(shí)數(shù)x，若存在常數(shù)k，b，使得不等式h（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b都成立，則稱直線y=kx+b是函數(shù)h（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)函數(shù)h(x)=
1
2
x2，g（x）=e[x-1-f（x）]，試問函數(shù)h（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出常數(shù)k，b的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=1-
a
x
+ln
1
x
（a為實(shí)常數(shù)）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求函數(shù)g（x）=f（x）-2x的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）上無極值，求a的取值范圍；
（Ⅲ）已知n∈N*且n≥3，求證：ln
n+1
3
＜
1
3
+
1
4
+
1
5
+…+
1
n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+bx+1（a≠0）對于任意x∈R都有f（1+x）=f（1-x），且函數(shù)y=f（x）+2x為偶函數(shù)；函數(shù)g（x）=1-2x．
（I） 求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（II） 求證：方程f（x）+g（x）=0在區(qū)間[0，1]上有唯一實(shí)數(shù)根；
（III） 若有f（m）=g（n），求實(shí)數(shù)n的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=x2+x-6，g（x）=2x+1，α、β是方程f（x）=0的兩個根（α＞β）．
（1）求α、β的值；
（2）數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+1=g（an），求an；
（3）數(shù)列{an}滿足：a1=3，an+1=an-
f(an)
g(an)
，(n=1，2，3，…)記bn=ln
an-β
an-α
，（n=1，2，…），求證數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，并求{bn}的前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax2+4ax+b-1（a≠0且a，b∈R），不等式|f（x）|≤|2x2+8x-10|恒成立．
（Ⅰ）求證：-5和1是函數(shù)f（x）的兩個零點(diǎn)；并求實(shí)數(shù)a，b滿足的關(guān)系式；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，2]（a＜2）上的最小值g（a）；
（Ⅲ）令F（x）=
f(x)， x＞0
-f(x)  x＜0
，若mn＜0，m+n＞0，試確定F（m）+F（n）的符號，并說明理由．

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