Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓，其右焦點F到其右準線的距離為1，離心率為，A，B分別為橢圓的上、下頂點，過點F且不與x軸重合的直線l與橢圓交于C，D兩點，與y軸交于點P，直線與交于點Q.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）當時，求直線的方程；

（3）求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）根據題意列出等式：，，聯立即得解；

（2）設直線l的方程為，與橢圓聯立，利用弦長公式表示，代入求解即可；

（3）設，，表示方程，聯立得到的坐標，利用韋達定理化簡，利用坐標表示，可得證.

（1）解：由題意可知，所以，，所以，

所以橢圓的標準方程為

（2）解：因為直線l不與x軸重合，所以斜率不為0.

因為l過點，所以設直線l的方程為.

由，得.

設，，則，，

則

因為，所以，得，所以，

所以直線l的方程為

（3）證明：在中令得，所以.

而直線的方程為，直線的方程為.

由此得到

.

不妨設，則①，②，

所以③.

將①②③代入式，得

，

所以為定值