【題目】已知,圖中直棱柱的底面是菱形,其中.又點(diǎn)分別在棱上運(yùn)動(dòng),且滿足:,.

1)求證:四點(diǎn)共面,并證明∥平面.

2)是否存在點(diǎn)使得二面角的余弦值為?如果存在,求出的長(zhǎng);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1)見(jiàn)解析(2)不存在點(diǎn)使之成立.見(jiàn)解析

【解析】

(1) 在線段上分別取點(diǎn),使得,進(jìn)而得到即可.

(2)為原點(diǎn),分別以,及過(guò)且與平行的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,再求解平面的法向量與平面的法向量,再設(shè),,再根據(jù)二面角的計(jì)算方法分析是否存在使得二面角為的余弦值為即可.

解:(1)證法1:在線段上分別取點(diǎn),使得,易知四邊形是平行四邊形,所以,聯(lián)結(jié),

,且

所以四邊形為矩形,故,同理,

,故四邊形是平行四邊形,所以,所以

四點(diǎn)共面

,平面,平面,

所以平面.

證法2:因?yàn)橹崩庵?/span>的底面是菱形,∴,底面,設(shè)交點(diǎn)為,以為原點(diǎn),分別以,及過(guò)且與平行的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則有,,,,設(shè),,則,,,,,,所以,故四點(diǎn)共面.,平面,平面,所以平面.

2)平面中向量,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,可得其一個(gè)法向量為.

平面中,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為

,則,所以取其一個(gè)法向量.

,則,

即有,,解得,故不存在點(diǎn)使之成立.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)從,生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品,若使得產(chǎn)品至少有一件合格的概率不低于99.5%,求的最小值;

2)假設(shè)不合格的產(chǎn)品均可進(jìn)行返工修復(fù)為合格品,以(1)中確定的作為的值.

①已知,生產(chǎn)線的不合格品返工后每件產(chǎn)品可分別挽回?fù)p失5元和3元,若從兩條生產(chǎn)線上各隨機(jī)抽檢1000件產(chǎn)品,以挽回?fù)p失的平均數(shù)為判斷依據(jù),估計(jì)哪條生產(chǎn)線的挽回?fù)p失較多?

②若最終的合格品(包括返工修復(fù)后的合格品)按照一、二、三等級(jí)分類(lèi)后,每件可分別獲利10元、8元、6元,現(xiàn)從,生產(chǎn)線的最終合格品中各隨機(jī)抽取100件進(jìn)行分級(jí)檢測(cè),結(jié)果統(tǒng)計(jì)如圖所示,用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,記該工廠生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)為,求的分布列并估計(jì)該廠產(chǎn)量2000件時(shí)利潤(rùn)的期望值.

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(1);

(2);

(3).

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A.B.C.D.

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)(i)請(qǐng)根據(jù)圖示,將2×2列聯(lián)表補(bǔ)充完整;


優(yōu)分

非優(yōu)分

總計(jì)

男生




女生




總計(jì)



50

ii)據(jù)此列聯(lián)表判斷,能否在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)10%的前提下認(rèn)為該學(xué)科成績(jī)與性別有關(guān)?

)將頻率視作概率,從高三年級(jí)該學(xué)科成績(jī)中任意抽取3名學(xué)生的成績(jī),求至少2名學(xué)生的成績(jī)?yōu)閮?yōu)分的概率.

附:


0.100

0.050

0.010

0.001


2.706

3.841

6.635

10.828

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