Question

直線l與函數(shù)y=x^a（a＜0）的圖象切于點(diǎn)（1，1），則直線l與坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積S的取值范圍為（　�。�

A．（0，4]

B．（0，2]

C．[4，+∞）

D．[2，+∞）

Answer 1

分析：確定直線l的方程，表示出三角形的面積，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答：解：求導(dǎo)函數(shù)，得到y(tǒng)'=ax^a-1，x=1時(shí)，y'=a，所以切線就是y-1=a（x-1），化簡(jiǎn)，得到y(tǒng)=ax+1-a．
令x=0，得到y(tǒng)=1-a，所以直線l與y軸交與A（0，1-a）；
令y=0，解得x=

a-1

a

，所以直線l與x軸相交于B（

a-1

a

，0）．
所以直線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積S=

1

2

|1-a||

a-1

a

|，
因?yàn)閍＜0，所以1-a＞0，

a-1

a

＞0，因此S=

1

2

[（-a-

1

a

）+2]≥2
當(dāng)且僅當(dāng)-a=-

1

a

，即a=-1時(shí)，取等號(hào)
∴S的取值范圍是[2，+∞）．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．