Question

在如圖所示的幾何體中，△ABC為正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2，CD=1，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)．
（I）求證：平面DBE⊥平面ABE；
（II）求直線BD和平面ACDE所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AB中點(diǎn)G，由題意可知四邊形CDFG為平行四邊形，可得CG∥DF．根據(jù)題意可得：平面ABE⊥平面ABC，可得CG⊥平面ABE，進(jìn)而得到DF⊥平面ABE，即可證明面面垂直．
（II）取AC中點(diǎn)M，連接BM、DM，所以BM⊥AC，又平面ACDE⊥平面ABC，所以BM⊥平面ACDE，所以∠BDM為所求的線面角，再結(jié)合解三角形的有關(guān)知識(shí)求出線面角即可得到答案．

解答：解：（I）證明：取AB中點(diǎn)G，則四邊形CDFG為平行四邊形，
∴CG∥DF又AE⊥平面ABC，AE?平面ABE
∴平面ABE⊥平面ABC，交線為AB．
又△ABC為正三角形，G為AB中點(diǎn)
∴CG⊥AB，
∴CG⊥平面ABE，又CG∥DF，
∴DF⊥平面ABE，
又DF?平面DBE
∴平面DBE⊥平面ABE．
（II）解：取AC中點(diǎn)M，連接BM、DM，
∵△ABC為正三角形，M為AC中點(diǎn)，
∴BM⊥AC．
又AE⊥平面ABC，AE?平面ACDE
∴平面ACDE⊥平面ABC，
∴BM⊥平面ACDE．
∴∠BDM為所求的線面角．
又因?yàn)椤鰽BC為正三角形且AB=2，
所以BM=

3

，BC?平面ABC，
所以CD⊥BC，
所以BD=

5

，
所以cos∠BDM=

10

5

故直線BD和平面ACDE所成角的余弦值為

10

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面面垂直的判定定理，并且也考查求直線與平面所成的角的有關(guān)知識(shí)，找出直線與平面所成的角是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵，屬于難題．