. 已知離心率為的橢圓的右焦點(diǎn)是圓的圓心,過橢圓上的動點(diǎn)P作圓的兩條切線分別交軸于M、N兩點(diǎn).
(I)求橢圓的方程;
(II)求線段MN長的最大值,并求此時點(diǎn)P的坐標(biāo).
(Ⅰ) (Ⅱ) ,
(I)∵圓的圓心是,
∴橢圓的右焦點(diǎn) F,……………………1分
∵橢圓的離心率是,∴
∴,∴橢圓的方程是.……………………4分
(II)解法一:設(shè),
由得,∴.…………5分
直線的方程:,
化簡得 .
又圓心到直線的距離為1,∴ ,………………6分
∴,
化簡得, ………………………………………………7分
同理有. ……………………………………………… 8分
∴,,……………………………………………………9分
∴.………………………………10分
∵是橢圓上的點(diǎn),∴,
∴,……………………11分
記,則,
時,;時,,
∴在上單調(diào)遞減,在內(nèi)也是單調(diào)遞減,………………13分
∴,
當(dāng)時,取得最大值,
此時點(diǎn)P位置是橢圓的左頂點(diǎn). …………………………14分
解法二:由得,∴.……5分
設(shè)過點(diǎn)P的圓的切線方程為,
∵圓心到直線的距離為1,
∴,化簡得,∴.…………6分
設(shè)則,…………………………8分
∴,,……………………………………9分
∴.…………………10分
∵是橢圓上的點(diǎn),∴,
∴,………………11分
記,則,
時,;時,,
∴在上單調(diào)遞減,在內(nèi)也是單調(diào)遞減,…………13分
∴,
當(dāng)時,取得最大值,
此時點(diǎn)P位置是橢圓的左頂點(diǎn). ………………………………14分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
1 |
2 |
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2 |
OA |
OB |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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a2 |
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2 |
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2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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k |
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k |
2 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年湖南省懷化市高三第二次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
下圖展示了一個由區(qū)間(其中為一正實數(shù))到實數(shù)集R上的映射過程:區(qū)間中的實數(shù)對應(yīng)線段上的點(diǎn),如圖1;將線段圍成一個離心率為的橢圓,使兩端點(diǎn)、恰好重合于橢圓的一個短軸端點(diǎn),如圖2 ;再將這個橢圓放在平面直角坐標(biāo)系中,使其中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長軸在軸上,已知此時點(diǎn)的坐標(biāo)為,如圖3,在圖形變化過程中,圖1中線段的長度對應(yīng)于圖3中的橢圓弧ADM的長度.圖3中直線與直線交于點(diǎn),則與實數(shù)對應(yīng)的實數(shù)就是,記作,
現(xiàn)給出下列5個命題
①; ②函數(shù)是奇函數(shù);③函數(shù)在上單調(diào)遞增; ④.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱;⑤函數(shù)時AM過橢圓的右焦點(diǎn).其中所有的真命題是: ( )
A.①③⑤ B.②③④ C.②③⑤ D.③④⑤
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013年湖南省懷化市高考數(shù)學(xué)二模試卷(理科)(解析版) 題型:選擇題
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