【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若，恒成立，求a的取值范圍．

【答案】（1）當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增；當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）.

【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)的零點，然后分，，討論即可.

（2）要使恒成立，只需恒成立，然后分，，，討論即可.

解：（1）因為，

所以.

①當(dāng)，即時，

令，得或

令，得，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.

②當(dāng)，即時，恒成立，

所以在R上單調(diào)遞增.

③當(dāng)，即時，

令，得或

令，得，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.

綜上，當(dāng)時，

的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是；

當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.

（2）由（1）可知.

①當(dāng)時，即時，

令，得或，

令，得，

則在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

故在上有極大值

.

當(dāng)時，，

令，得，

故符合題意.

②當(dāng)，即時，，

所以在上是增函數(shù)，

則有最大值，

故符合題意.

③當(dāng)，即時，

令，得或，

令，得，

則在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

故在上有極大值

，

當(dāng)時，，

令，得，

故符合題意.

④當(dāng)即時，

令，得，

令，得，

則在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

故在上有最大值.

，

故符合題意.

綜上，a的取值范圍是.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

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【題目】新冠肺炎疫情這只“黑天鵝”的出現(xiàn)，給經(jīng)濟(jì)運行帶來明顯影響，住宿餐飲、文體娛樂、交通運輸、旅游等行業(yè)受疫情影響嚴(yán)重.隨著復(fù)工復(fù)產(chǎn)的有序推動，我市某西餐廳推出線上促銷活動：

A套餐（在下列食品中6選3）

西式面點：蔓越莓核桃包、南瓜芝土包、黑列巴、全麥吐司；

中式面點：豆包、桂花糕

B套餐：醬牛肉、老味燒雞熟食類組合.

復(fù)工復(fù)產(chǎn)后某一周兩種套餐的日銷售量（單位：份）如下：

星期一

星期二

星期三

星期四

星期五

星期六

星期日

A套餐

11

12

14

18

22

19

23

B套餐

6

13

15

15

37

20

41

（1）根據(jù)該西餐廳上面一周A、B兩種套餐的銷售情況，結(jié)合兩種套餐的平均銷售量和方差，評價兩種套餐的銷售情況（不需要計算，只給出結(jié)論即可）；

（2）如果該西餐廳每種套餐每日銷量少于20份表示業(yè)績“一般”，銷量大于等于20份表示業(yè)績“優(yōu)秀”，求該西餐廳在這一周內(nèi)B套餐連續(xù)兩天中至少有一天銷量業(yè)績?yōu)?/span>“優(yōu)秀”的概率；

（3）某顧客購買一份A套餐，求她所選的面點中所含中式面點個數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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【題目】如圖，某森林公園內(nèi)有一條寬為100米的筆直的河道（假設(shè)河道足夠長），現(xiàn)擬在河道內(nèi)圍出一塊直角三角形區(qū)域養(yǎng)殖觀賞魚.三角形區(qū)域記為，到河兩岸距離，相等，，分別在兩岸上，.為方便游客觀賞，擬圍繞區(qū)域在水面搭建景觀橋.為了使橋的總長度（即的周長）最短，工程師設(shè)計了以下兩種方案：

方案1：設(shè)，求出關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出的最小值.

方案2：設(shè)米，求出關(guān)于的函數(shù)解析式，并求出的最小值.

請從以上兩種方案中自選一種解答.（注：如果選用了兩種解答方案，則按第一種解答計分）

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【題目】已知函數(shù)，其中.

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（2）若函數(shù)存在兩個極值點，（其中），且的取值范圍為，求的取值范圍.

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【題目】新型冠狀病毒（SARS-COV-2）是2019年在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株，主要通過呼吸道飛沫進(jìn)行傳播，鑒于其特殊的傳播途徑，某科學(xué)醫(yī)療機(jī)構(gòu)發(fā)現(xiàn)一次性醫(yī)用口罩起著一定的防護(hù)作用一般，口罩在投入市場前需做一系列的檢測，其中罩體污點、鼻梁條缺陷、耳繩異常等常規(guī)瑕疵肉眼可見，而耳繩尤為關(guān)鍵，會出現(xiàn)耳繩缺失、錯位、錯熔、漏熔四種情況 .現(xiàn)在生產(chǎn)商大多采用全自動生產(chǎn)線生產(chǎn)口罩，某工廠現(xiàn)有甲（1臺本體機(jī)拖2臺耳帶機(jī)）和乙（1臺本體機(jī)拖3臺耳帶機(jī)）兩條生產(chǎn)線，已知甲生產(chǎn)線的日產(chǎn)量為7萬只，乙生產(chǎn)線的日產(chǎn)量為10萬只，生產(chǎn)商為了了解是否有必要更換原有的甲生產(chǎn)線，在設(shè)備生產(chǎn)狀況相同，不計其他影響的狀態(tài)下，分別統(tǒng)計了兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的1000只口罩的耳繩情況，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：

耳繩情況

合格

缺失

錯位

錯熔

漏熔

甲生產(chǎn)線

950

9

19

11

11

乙生產(chǎn)線

900

19

35

25

21

（1）從乙生產(chǎn)線生產(chǎn)的1000只口罩中隨機(jī)抽取3只，將合格品的只數(shù)記為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）假設(shè)口罩的生產(chǎn)成本為0.4元/只，若耳繩發(fā)生缺陷時可通過人工修復(fù)至合格來挽回?fù)p失。耳繩缺失、漏熔時人工修復(fù)費為0.01元/只；錯位與錯熔時需更換耳繩，其中耳繩成本為0.06元/根，人工修復(fù)費為0.02元/只．

①以修復(fù)費的平均數(shù)作為判斷依據(jù)，判斷哪一條生產(chǎn)線在每日生產(chǎn)過程中挽回?fù)p失時所需費用較少？

②若經(jīng)一次檢驗就合格的口罩，生產(chǎn)商以1元/只的批發(fā)價銷售給市場，經(jīng)人工修復(fù)的打八折出售。以該工廠的日平均收入為依據(jù)分析該生產(chǎn)商是否有必要更換甲生產(chǎn)線？

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為．

（1）求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知曲線C3的極坐標(biāo)方程為，點A是曲線C3與C1的交點，點B是曲線C3與C2的交點，A、B均異于原點O，且，求實數(shù)α的值．

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