(2012•房山區(qū)二模)數(shù)列{an}中,a1=1,前n項(xiàng)的和是Sn,且Sn=2an-1,n∈N*
(I)求出 a2,a3,a4;
(II)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(III)求證:SnSn+2
S
2
n+1
分析:(I)利用數(shù)列遞推式,代入計(jì)算,可求a2,a3,a4;
(II)再寫一式,兩式相減,即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(III)求出前n項(xiàng)和,代入計(jì)算,可以證得結(jié)論.
解答:(I)解:∵a1=1,Sn=2an-1,
∴當(dāng)n=2時(shí),a1+a2=2a2-1,∴a2=2
當(dāng)n=3時(shí),a1+a2+a3=2a3-1,∴a3=4
當(dāng)n=4時(shí),a1+a2+a3+a4=2a4-1,∴a4=8      …(3分)
(II)解:∵Sn=2an-1,n∈N*.         (1)
∴Sn-1=2an-1-1,n≥2,n∈N*.    (2)
(1)-(2)得an=2an-1,
∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,
∴an=2n-1…(8分)
(III)證明:∵Sn=2an-1=2n-1,
∴SnSn+2=(2n-1)•(2n+2-1)=22n+2-2n+2-2n+1,
S
2
n+1
=22n+2-2n+2+1
∵2n>0
∴SnSn+2
S
2
n+1
.…(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列遞推式,考查數(shù)列的通項(xiàng),考查數(shù)列與不等式的聯(lián)系,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
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π
6
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x
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