Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）求證：不論為何實數(shù)總為增函數(shù)；

（2）確定的值，使為奇函數(shù)；

（3）在（2）的條件下求的值域．

Answer 1

【答案】(1) 見解析； (2)

（3）為奇函數(shù)時，其值域為

【解析】

（1）先設(shè)x1＜x2，欲證明不論a為何實數(shù)f（x）總是為增函數(shù)，只須證明：f（x1）-f（x2）＜0，即可；

（2）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，利用定義得出f（-x）=-f（x）恒成立，從而求得a值即可．

（3）由（2）知，利用指數(shù)函數(shù)y=2x的性質(zhì)結(jié)合不等式的性質(zhì)即可求得f（x）的值域．

(1)的定義域為R, 設(shè)，且,

則=,

,,

即,所以不論為何實數(shù)總為增函數(shù)．……………………5分

(2)為奇函數(shù),,即,

整理得，

則，解得:

……………………10分

（4）由(2)知,

,,

故當為奇函數(shù)時，其值域為……………………14分

另解：由(2)知.

由，得，

當時，得，矛盾，所以；

故有.

當時，，所以，解得.

故當為奇函數(shù)時，其值域為………………14分