Question

（本小題滿分14分）
已知函數(shù)．
（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，求實(shí)數(shù)的值；
（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（Ⅲ）當(dāng)時，記函數(shù)的最小值為，求證：．

Answer 1

（1）或；（2）函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（3）見解析.

第一問中因?yàn)榍�線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則說明了函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)值為-2，利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可參數(shù)a的值。即由，所以，
解得或. 
第二問中因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408232202194381166.png" style="vertical-align:middle;" />，
則單調(diào)性的判定就取決于導(dǎo)數(shù)的正負(fù)的解集。那么因?yàn)槎�次項系�?shù)的正負(fù)不定，所以分類兩大類討論即可。
第三問中，
由（Ⅱ）知，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，
且
構(gòu)造函數(shù)借助于導(dǎo)數(shù)求解最值得到不等式的證明。
解：（I）的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823220219719552.png" style="vertical-align:middle;" />.
.
根據(jù)題意，有，所以，
解得或.                                       ……3分
（II）.
（1）當(dāng)時，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823220219890393.png" style="vertical-align:middle;" />，
由得，解得；
由得，解得.
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）當(dāng)時，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823220219890393.png" style="vertical-align:middle;" />，
由得，解得；
由得，解得.
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.         ……9分
（III）由（Ⅱ）知，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，
且.
，
令，得.
當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：

	＋	0	－
		極大值

是在上的唯一極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，從而也是的最大值點(diǎn).
所以
.
所以，當(dāng)時，成立.                    ……14分