【題目】【2018河南南陽市一中上學(xué)期第三次月考】已知點為坐標(biāo)原點, 是橢圓上的兩個動點,滿足直線與直線關(guān)于直線對稱.
(I)證明直線的斜率為定值,并求出這個定值;
(II)求的面積最大時直線的方程.
【答案】(I)直線的斜率為定值,其值為;(II),或.
【解析】試題分析:(1)聯(lián)立直線和橢圓,解出兩個的交點坐標(biāo),用兩點坐標(biāo)解出直線斜率;(2)聯(lián)立直線和橢圓根據(jù)弦長公式得到.
再根據(jù)點到直線的距離得到,此時面積為,進而得到結(jié)果。
解析:
(1)設(shè)直線方程為: ,代入得
設(shè),因為點在橢圓上,所以
又由題知,直線的斜率與的斜率互為相反數(shù),在上式中以代,可得
,
所以直線的斜率
即直線的斜率為定值,其值為.
(2)由(1)可設(shè)直線方程為: ,代入得
,則.由可得.
, 到直線的距離,
可得,
當(dāng)且僅當(dāng)(滿足),即時取等,此時直線的方程為: ,或.
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【題目】如圖,四棱錐 中,底面ABCD為矩形,側(cè)面PAD為正三角形,且平面 ABCD平面, E為PD中點, AD=2.
(Ⅰ)求證:平面 平面PCD;
(Ⅱ)若二面角 的平面角大小 滿足 ,求四棱錐 的體積.
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【題目】在一次“漢馬”(武漢馬拉松比賽的簡稱)全程比賽中,50名參賽選手(24名男選手和26名女選手)的成績(單位:分鐘)分別為數(shù)據(jù) (成績不為0).
(Ⅰ)24名男選手成績的莖葉圖如圖⑴所示,若將男選手成績由好到差編為1~24號,再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取6人,求其中成績在區(qū)間上的選手人數(shù);
(Ⅱ)如圖⑵所示的程序用來對這50名選手的成績進行統(tǒng)計.為了便于區(qū)別性別,輸入時,男選手的成績數(shù)據(jù)用正數(shù),女選手的成績數(shù)據(jù)用其相反數(shù)(負數(shù)),請完成圖⑵中空白的判斷框①處的填寫,并說明輸出數(shù)值和的統(tǒng)計意義.
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【題目】如圖是函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象,則下面判斷正確的是( )
A. 在(-2,1)上f(x)是增函數(shù) B. 在(1,3)上f(x)是減函數(shù)
C. 當(dāng)x=2時,f(x)取極大值 D. 當(dāng)x=4時,f(x)取極大值
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【題目】一個圓錐的底面半徑為2,高為6,在其中有一個高為x的內(nèi)接圓柱.
(1)用x表示圓柱的軸截面面積S;
(2)當(dāng)x為何值時,S最大?
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【題目】在數(shù)列中,如果對任意都有(為常數(shù)),則稱為等差比數(shù)列,稱為公差比.現(xiàn)給出下列命題:
①等差比數(shù)列的公差比一定不為;
②等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列;
③若,則數(shù)列是等差比數(shù)列;
④若等比數(shù)列是等差比數(shù)列,則其公比等于公差比.
其中正確的命題的序號為__________.
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【題目】已知命題 “存在”,命題:“曲線表示焦點在軸上的橢圓”,命題 “曲線表示雙曲線”
(1)若“且”是真命題,求實數(shù)的取值范圍;
(2)若是的必要不充分條件,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)若函數(shù)的圖象上的所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍,所得的圖象與直線交點的橫坐標(biāo)由小到大依次是,求的值.
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【題目】設(shè),函數(shù).
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)設(shè),問是否存在極值,若存在,請求出極值,若不存在,請說明理由;
(3)設(shè)是函數(shù)圖象上任意不同的兩點,線段的中點為,直線的斜率為,證明:.
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