Question

某校高三師生為“慶元旦迎新年”舉行了一次聯(lián)歡晚會(huì)，高三年級(jí)8個(gè)班每班各準(zhǔn)備了一個(gè)節(jié)目，且節(jié)目單已排好，節(jié)目開演前又增加了3個(gè)教師節(jié)目，其中有2個(gè)獨(dú)唱節(jié)目，1個(gè)朗誦節(jié)目，如果將這3個(gè)節(jié)目插入原節(jié)目單中，要求教師的節(jié)目不排在第一個(gè)和最后一個(gè)，并且教師的2個(gè)獨(dú)唱節(jié)目不連續(xù)演出，那么不同的排法有

1. A.
   294種
2. B.
   308種
3. C.
   378種
4. D.
   392種

Answer 1

D
分析：根據(jù)題意，分析可得學(xué)生共8個(gè)節(jié)目，可以選用的空位有7個(gè)，先在7個(gè)可用的空位中，任取2個(gè)安排2個(gè)獨(dú)唱節(jié)目，有排列數(shù)公式可得其情況數(shù)目，進(jìn)而可得此時(shí)共10個(gè)節(jié)目，有9個(gè)空位可用，從中選1個(gè)安排朗誦節(jié)目即可，由分步計(jì)數(shù)原理，計(jì)算可得答案．
解答：根據(jù)題意，學(xué)生共8個(gè)節(jié)目，排好后，除去兩端，中間共有7個(gè)空位，
分兩種情況討論，
①教師節(jié)目不相鄰：
在7個(gè)可用的空位中，任取2個(gè)，安排2個(gè)獨(dú)唱節(jié)目，有A₇²=42種情況，
此時(shí)共10個(gè)節(jié)目，除去兩端，中間共有9個(gè)空位，選1個(gè)安排朗誦節(jié)目，有9種情況；
則有42×9=378種不同的排法；
②，若教師節(jié)目相鄰，則必須是獨(dú)唱、朗誦、獨(dú)唱的順序，
可在7個(gè)空位中選1個(gè)，再考慮兩個(gè)獨(dú)唱節(jié)目的順序，
共有7×A₂²=14種情況，
共有378+14=392種不同排法；
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查排列、組合的應(yīng)用，易錯(cuò)點(diǎn)為不理解題意，將三個(gè)教師節(jié)目，直接用插空法插入學(xué)生節(jié)目中，得到A₇³的錯(cuò)誤答案．