Question

已知向量

m

=(1，cosωx)，

n

=(sinωx，

3

)（ω＞0），函數(shù)f(x)=

m

•

n

，且f（x）圖象上一個最高點(diǎn)的坐標(biāo)為(

π

12

，2)，與之相鄰的一個最低點(diǎn)的坐標(biāo)為(

7π

12

，-2)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，a，b，c是角A、B、C所對的邊，且滿足a²+c²-b²=ac，求角B的大小以及f（A）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

m

=(1，cosωx)，

n

=(sinωx，

3

)（ω＞0），函數(shù)f(x)=

m

•

n

，根據(jù)向量的數(shù)量積公式，結(jié)合輔助角公式，我們易將函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)的形式，根據(jù)f（x）圖象上一個最高點(diǎn)的坐標(biāo)為(

π

12

，2)，與之相鄰的一個最低點(diǎn)的坐標(biāo)為(

7π

12

，-2)．我們求出函數(shù)的最值及周期，進(jìn)而求出A，ω，φ值即可得到f（x）的解析式；
（2）又a²+c²-b²=ac由余弦定理及求出B的大小，進(jìn)而根據(jù)三角形內(nèi)角和為π確定A的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求出f（A）的取值范圍．

解答：解：（1）∵向量

m

=(1，cosωx)，

n

=(sinωx，

3

)
∴f(x)=

m

•

n

=sinωx+

3

cosωx=2(

1

2

sinωx+

3

2

cosωx)=2sin(ωx+

π

3

)．--------------------------------------（2分）
∵f（x）圖象上一個最高點(diǎn)的坐標(biāo)為(

π

12

，2)，與之相鄰的一個最低點(diǎn)的坐標(biāo)為(

7π

12

，-2)．
∴

T

2

=

7π

12

-

π

12

=

π

2

，
∴T=π，于是ω=

2π

T

=2．---------------（5分）
所以f(x)=2sin(2x+

π

3

)．---------------------------------（6分）
（2）∵a²+c²-b²=ac，∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

-----------------------------------7-分
又0＜B＜π，∴B=

π

3

．
∴f(A)=2sin(2A+

π

3

)--------------------------------------------（8分）
∵B=

π

3

∴0＜A＜

2π

3

．于是

π

3

＜2A+

π

3

＜

5π

3

，
∴sin(2A+

π

3

)∈[-1，1]．------------------------------------------------------------（10分）
所以f（A）∈[-2，2]．------------------------------------------------------------（12分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是三角函數(shù)的最值，正弦型函數(shù)解析式的確定，余弦定理，其中（1）的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定函數(shù)的最值及周期，進(jìn)而求出A，ω，φ值，（2）的關(guān)鍵是根據(jù)已知的形式，選擇使用余弦定理做為解答的突破口．