Question

【題目】已知拋物線，過的直線與拋物線C交于兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，拋物線C在兩點(diǎn)處的切線相互垂直.

（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)P為拋物線C上異于的點(diǎn)，直線均不與軸平行，且直線AP和BP交拋物線C的準(zhǔn)線分別于兩點(diǎn)，.

（i）求直線的斜率；

（ⅱ）求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）；（ⅱ）4.

【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別求得處切線的斜率，再根據(jù)斜率相乘為，可得的值，即可得答案；

（2）（i）根據(jù)可得點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，再結(jié)合韋達(dá)定理，可求得斜率；

（ii）由（i）易知，設(shè)，則，再分別求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)用表示，利用換元法可求得的最值.

（1）設(shè).

拋物線C的方程可化為.

拋物線C在兩點(diǎn)處的切線的斜率分別為.

由題可知直線l的斜率存在，故可設(shè)直線1的方程為，

聯(lián)立，消去y可得，

.

，解得.

∴拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）（i）由（1）可得

由，可得，

又點(diǎn)A在第一象限，解得.

∴直線AB的斜率為；

（ii）由（i）易知.

設(shè)，則.

由題可知，故且.

∴直線AP的斜率，同理可得.

∴直線，當(dāng)時(shí)，.

直線，當(dāng)時(shí)，.

.

令，

當(dāng)且僅當(dāng)，即，也即或時(shí)，取得最小值4.