Question

（2010•深圳二模）已知圓C：（x+t）²+y²=5（t＞0）和橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個公共點為B（0，2）．F為橢圓E的右焦點，直線BF與圓C相切于點B．
（Ⅰ）求t值和橢圓E的方程；
（Ⅱ）圓C上是否存在點M，使△MBF為等腰三角形？若存在，求出點M的坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題可知，b=2，根據(jù)直線BF與圓C相切于點B，可求t=1，利用BC²+BF²=CF²，設F（c，0），則有(

5

)2+(22+c2)=(1+c)2，從而可求c=4，利用a²=b²+c²，b=2，可得a²=20，從而可求橢圓E的方程；
（Ⅱ）假設存在點M（x，y），使△MBF為等腰三角形，則M（x，y）點滿足（x+1）²+y²=5…①，
下面分三種情況討論：（1）BM=BF；（2）MB=MF；（3）FM=FB，即可求解

解答：解：（Ⅰ）由題可知，b=2…（1分）
∵C（-t，0），B（0，2），∴BC=

t2+22

=

5

，∴t=±1，又t＞0，∴t=1…（3分）
∵BF為圓C的切線，∴BC⊥BF，∴BC²+BF²=CF²，
設F（c，0），則有(

5

)2+(22+c2)=(1+c)2，∴c=4，…（5分）
又a²=b²+c²，b=2，∴a²=20，
所以橢圓E的方程為

x2

20

+

y2

4

=1…（6分）
（Ⅱ）假設存在點M（x，y），使△MBF為等腰三角形，
則M（x，y）點滿足（x+1）²+y²=5…①，…（7分）
下面分三種情況討論：
（1）當BM=BF時，
有

x2+(y-2)2

=

20

，即x²+（y-2）²=20…②
由①②聯(lián)立得：

x=-2 y=-2

，∴M（-2，-2）…（9分）
（2）當MB=MF時，
有

x2+(y-2)2

=

(x-4)2+y2

，即2x-y=3…③
由①③聯(lián)立得：

x=1 y=-1

，∴M（1，-1）…（11分）
（3）當FM=FB時，
有

(x-4)2+y2

=

20

，即x²+y²-8x-4=0…④
由①④聯(lián)立得：

x=0 y=±2

，又B（0，2），∴M（0，-2）…（13分）
綜上，圓C上存在點M（-2，-2）或M（1，-1）或M（0，-2），使△MBF為等腰三角形．    …（14分）

點評：本題以圓與橢圓為載體，考查橢圓的標準方程，考查是否存在性問題，注意分類討論．