Question

【題目】如圖所示，四邊形為菱形，，二面角為直二面角，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）若，當(dāng)二面角的余弦值為時(shí)，求直線與平面所成的角．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，連接，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，得到平面，進(jìn)而得到，再由，結(jié)合線面垂直的判定定理，即可求解；

（Ⅱ）解法一：設(shè)點(diǎn)是與的交點(diǎn)，證得為二面角的平面角，結(jié)合解三角形的知識(shí)，即可求解；解法二：設(shè)點(diǎn)是與的交點(diǎn)，以所在直線為軸所在直線為軸，過點(diǎn)垂直平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可得平面的一個(gè)法向量，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.

（Ⅰ）如圖所示，設(shè)點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，連接，

由及點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，可得，

又二面角為直二面角，故平面，

又因?yàn)?/span>平面，所以，

又因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，所以，

而是的中位線，所以，可得，

又由，且平面，平面，

所以平面， 又因?yàn)?/span>平面，

所以．

（Ⅱ）解法一：設(shè)點(diǎn)是與的交點(diǎn)，

由（Ⅰ）可知平面，

又均在平面內(nèi)，從而有，

故為二面角的平面角，

因?yàn)?/span>，所以為等邊三角形．

不妨設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為．

則在中，，

于是

在中，，

故，

整理得，．

因?yàn)?/span>平面，所以為直線與平面所成的角．

則，

所以直線與平面所成的角為.

解法二：設(shè)點(diǎn)是與的交點(diǎn)，

以所在直線為軸所在直線為軸，

過點(diǎn)垂直平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則，，

則，

設(shè)平面的法向量為，

則，即，

取，得的一個(gè)法向量為，

則，解得，

則，，

則，

則直線與平面所成的角為．