已知點P1(a1,b1),P2(a2,b2).…Pn(an,bn)(n∈N*)都在函數(shù)y=1og
12
x
的圖象上.
(1)若數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,求證數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(2)若數(shù)列{an}的前n項和是Sn=1-2-n,過點Pn,Pn+1的值線與兩坐標軸所圍三角形面積為cn,求最小的實數(shù)t使cn≤t對n∈N*恒成立;
(3)若數(shù)列{bn}為由(2)中{an}得到的數(shù)列,在bk與bk+1之間插入3k-1(k∈N*)個3,得一新數(shù)列{dn},問是否存在這樣的正整數(shù)m,使數(shù)列{dn}的前m項的和Sm=2008,如果存在,求出m的值,如果不存在,請說明理由.
分析:(1)利用數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,結(jié)合等比數(shù)列的定義,即可證明數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
(2)先確定數(shù)列{an}的通項公式,再求數(shù)列{bn}的通項公式,進而可得直線方程,由此可求數(shù)列{cn}的通項,利用各項依次單調(diào)遞減,可求最小的實數(shù)t;
(3)求出數(shù)列{dn}中,bk(含bk項)前的所有項的和,由此可求m的值.
解答:(1)證明:數(shù)列{bn}是等差數(shù)列,設(shè)公差為d,則bn+1-bn=d對n∈N*恒成立,…(1分)
依題意bn=log
1
2
an
,an=(
1
2
)bn
,…(2分)
所以
an+1
an
=(
1
2
)bn+1-bn=(
1
2
)d
是定值,…(3分)
從而數(shù)列{an}是等比數(shù)列.                                 …(4分)
(2)解:當n=1時,a1=
1
2
,當n≥2時,an=Sn-Sn-1=(
1
2
)n
,n=1也適合此式,
即數(shù)列{an}的通項公式是an=(
1
2
)n
.                        …(5分)
bn=log
1
2
an
,可得數(shù)列{bn}的通項公式是bn=n,…(6分)
所以Pn(
1
2n
,n)
Pn+1(
1
2n+1
,n+1)

過這兩點的直線方程是:
y-n
(n+1)-n
=
x-
1
2n
1
2n+1
-
1
2n
,可得與坐標軸的交點是An(
n+2
2n+1
,0)
和Bn(0,n+2).…(7分)
cn=
1
2
×OAn×OBn=
(n+2)2
2n+2
,…(8分)
由于cn-cn+1=
(n+2)2
2n+2
-
(n+3)2
2n+3
=
2(n+2)2-(n+3)2
2n+3
=
n2+2n-1
2n+3
>0
…(9分)
即數(shù)列{cn}的各項依次單調(diào)遞減,所以t≥c1=
9
8
.                 …(10分)
(3)解:數(shù)列{dn}中,bk(含bk項)前的所有項的和是(1+2+…+k)+(31+32+…+3k-1)=
k(k+1)
2
+
3k-3
2
…(11分)
當k=7時,其和是28+
37-3
2
=1120<2008
,…(12分)
當k=8時,其和是36+
38-3
2
=3315>2008
,
又因為2008-1120=888=296×3,是3的倍數(shù),故存在這樣的m,使得Sm=2008,…(13分)
此時m=7+(1+3+32+…+35)+296=667.                 …(14分)
點評:本小題主要考查等差、等比數(shù)列的定義、通項、求和、對數(shù)的運算、直線方程與不等式等知識,考查化歸、轉(zhuǎn)化、方程的數(shù)學思想方法,以及抽象概括能力、運算求解能力、創(chuàng)新能力和綜合應用能力.
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相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知點A(1,0),B(0,1)和互不相同的點P1,P2,P3,…,Pn,…,滿足
OPn
=an
OA
+bn
OB
(n∈N*),其中an,bn分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列,O為坐標原點,P1是線段AB的中點.
(1)求a1,b1的值;
(2)判斷點P1,P2,P3,…,Pn,…能否在同一條直線上,并證明你的結(jié)論;
(3)設(shè)數(shù)列an的公差為2,在數(shù)列cn中,c1=1,c2=-13,cn+2-2cn+1+cn=an(n∈N*),求出cn取得最小值時n的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2007•深圳一模)已知點A(1,0),B(0,1)和互不相同的點P1,P2,P3,…,Pn,…,滿足
OPn
=an
OA
+bn
OB
(n∈N*)
,其中{an}、{bn}分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列,O為坐標原點,若P1是線段AB的中點.
(Ⅰ)求a1,b1的值;
(Ⅱ)點P1,P2,P3,…,Pn,…能否共線?證明你的結(jié)論;
(Ⅲ)證明:對于給定的公差不零的{an},都能找到唯一的一個{bn},使得P1,P2,P3,…,Pn,…,都在一個指數(shù)函數(shù)的圖象上.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

數(shù)列{an}中,a1=1,a5=13,an+2=2an+1-an(n∈N*),數(shù)列{bn}中,b2=6,b3=3,bn+2=(n∈N*),已知點P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn),…,則向量的坐標為    (    )

A.(3×1006,-4[1-()1006])                   B.(3×1004,-8[1-()1004])

C.(3×1002,-4[1-()1002])                   D.(3×1004,-4[1-()1004])

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

數(shù)列{an}中,a1=1,a5=13,an+2=2an+1-an(n∈N*),數(shù)列{bn}中,b2=6,b3=3,bn+2=(n∈N*),已知點P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn),…,則向量的坐標為(    )

A.(3×1006,-4[1-()1006])         B.(3×1004,-8[1-()1004])

C.(3×1 002,-4[1-()1002])         D.(3×1004,-4[1-()1004])

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科目:高中數(shù)學 來源:2007年廣東省深圳市高考數(shù)學一模試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知點A(1,0),B(0,1)和互不相同的點P1,P2,P3,…,Pn,…,滿足,其中{an}、{bn}分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列,O為坐標原點,若P1是線段AB的中點.
(Ⅰ)求a1,b1的值;
(Ⅱ)點P1,P2,P3,…,Pn,…能否共線?證明你的結(jié)論;
(Ⅲ)證明:對于給定的公差不零的{an},都能找到唯一的一個{bn},使得P1,P2,P3,…,Pn,…,都在一個指數(shù)函數(shù)的圖象上.

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