Question

已知冪函數(shù)f（x）=x^{（2-k）（1+k）}，k∈N₊，且滿足f（2）＜f（3）．
（1）求實(shí)數(shù)k的值，并寫出相應(yīng)的函數(shù)f（x）解析式；
（2）對(duì)于（1）中的函數(shù)f（x），試判斷是否存在正數(shù)q，使函數(shù)g（x）=1-qf（x）+（2q-1）x在區(qū)間[-1，2]上值域?yàn)?span id="nbrj5nh" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">[-4，

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8

]．若存在，求出此q值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（2）＜f（3）知冪函數(shù)在（0，+∞）上為增函數(shù)，故（2-k）（1+k）＞0，解出k即可．
（2）寫出g（x）的解析式g（x）=-qx²+（2q-1）x+1，為二次函數(shù)，只需考慮二次函數(shù)的對(duì)稱軸和單調(diào)性即可．

解答：解：（1）由題意知（2-k）（1+k）＞0
解得-1＜k＜2
又k∈N₊∴k=1
分別代入原函數(shù)得f（x）=x²
（2）由（1）知g（x）=-qx²+（2q-1）x+1，
假設(shè)存在這樣的正數(shù)q符合題意，
則函數(shù)g（x）的圖象是開口向下的拋物線，
其對(duì)稱軸為x=

2q-1

2q

=1-

1

2q

＜1
因而，函數(shù)g（x）在[-1，2]上的最小值只能在x=-1或x=2處取得
又g（2）=-1≠-4，從而必有g(shù)（-1）=2-3q=-4
解得q=2
此時(shí)，g（x）=-2x²+3x+1，其對(duì)稱軸x=

3

4

∈[-1，2]
∴g（x）在[-1，2]上的最大值為g(

3

4

)=-2×(

3

4

)2+3×

3

4

+1=

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符合題意．

點(diǎn)評(píng)：本題考查冪函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的值域問題，考查利用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力．