(2012•荊州模擬)已知數(shù)列{an}、{bn},an>0,a1=6,點An(an,
an+1
)
在拋物線y2=x+1上;點Bn(n,bn)在直線y=2x+1上.
(1)求數(shù)列{an}、{bn}的通項公式;
(2)若f(n)=
an
bn
n為奇數(shù)
n為偶數(shù)
,問是否存在k∈N*,使f(k+15)=2f(k)成立,若存在,求出k值;若不存在,說明理由;
(3)對任意正整數(shù)n,不等式
an
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+bn)
-
an-1
n-2+an
≤0
成立,求正實數(shù)a的取值范圍.
分析:(1)由點An(an,
an+1
)
在拋物線y2=x+1上,知an+1=an+1,由此能求出an=n+5.由點Bn(n,bn)在直線y=2x+1上.能求出bn=2n+1.
(2)由f(n)=
an,n為奇數(shù)
bn,n為偶數(shù)
,知當(dāng)k為奇數(shù)時,k+15為偶數(shù),故2(k+15)+1=2(k+5),顯然不成立.當(dāng)k為偶數(shù)時,k+15為奇數(shù),則有k+20=2(2k+1),由此能求出k.
(3)由
an
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+bn)
-
an-1
n-2+an
≤0
,得:a≤
1
2n+3
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)
,記g(n)=
1
2n+3
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)
,由此能求出正實數(shù)a的取值范圍.
解答:解:(1)∵點An(an,
an+1
)
在拋物線y2=x+1上,
∴an+1=an+1,
∵an>0,a1=6,
∴{an}是首項a1=6,公差d=an+1-an=1的等差數(shù)列,
∴an=n+5.
∵點Bn(n,bn)在直線y=2x+1上.
∴bn=2n+1…(4分)
(2)f(n)=
an,n為奇數(shù)
bn,n為偶數(shù)
,
當(dāng)k為奇數(shù)時,k+15為偶數(shù),
∴2(k+15)+1=2(k+5),顯然不成立.
當(dāng)k為偶數(shù)時,k+15為奇數(shù),則有k+20=2(2k+1),解得k=6.…(8分)
(3)由
an
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+bn)
-
an-1
n-2+an
≤0
,
得:a≤
1
2n+3
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)
,
記g(n)=
1
2n+3
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)
,
g(n+1)
g(n)
=
2n+3
2n+5
(1+
1
bn+1
)=
2n+3
2n+5
2n+4
2n+3
=
(2n+4)2
2n+5
2n+3
>1

∴g(n+1)>g(n),即g(n)遞增.
g(n)min=g(1)=
1
5
4
3
=
4
5
15
,
0<a≤
4
5
15
.…(13分)
點評:本題考查數(shù)列的通項公式的求法、實數(shù)k是否存在的判斷和求正實數(shù)a的取值范圍.綜合性強,難度大,是高考的重點.解題時要認(rèn)真審題,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進行等價轉(zhuǎn)化.
練習(xí)冊系列答案
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6
,b]
,值域為[-1,
1
2
]
,則b-
6
的值不可能是( 。

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