【題目】為了進一步激發(fā)同學們的學習熱情，某班級建立了數(shù)學英語兩個學習興趣小組，兩組的人數(shù)如下表所示：

組別

性別

數(shù)學

英語

男

5

1

女

3

3

現(xiàn)采用分層抽樣的方法(層內采用簡單隨機抽樣)從兩組中共抽取3名同學進行測試.

（1）求從數(shù)學組抽取的同學中至少有1名女同學的概率；

（2）記ξ為抽取的3名同學中男同學的人數(shù)，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望.

【答案】（1）.（2）分布列答案見解析，數(shù)學期望

【解析】

（1）兩小組的總人數(shù)之比為8∶4，確定分層抽樣的比值,即數(shù)學組抽取2人,英語組抽取1人.數(shù)學組至少有1名女同學的情況有：1名男同學1名女同學和2名女同學兩種情況.利用古典概型的概率計算公式即可得出結果.

（2）由題意可知，ξ的所有可能取值為0，1，2，3,根據題意可知需滿足數(shù)學組抽取2人,英語組抽取1人,根據男生的人數(shù)進行分類討論即可求得對應的概率,進而得出結果.

（1）兩小組的總人數(shù)之比為8∶4=2∶1，共抽取3人，

所以數(shù)學組抽取2人，英語組抽取1人.

從數(shù)學組抽取的同學中至少有1名女同學的情況有：1名男同學1名女同學和2名女同學兩種情況.

所以所求概率.

（2）由題意可知，ξ的所有可能取值為0，1，2，3

分布列為：

0

1

2

3

練習冊系列答案
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【題目】隨著經濟的發(fā)展，個人收入的提高，自2019年1月1日起，個人所得稅起征點和稅率的調整.調整如下：納稅人的工資、薪金所得，以每月全部收入額減除5000元后的余額為應納稅所得額，依照個人所得稅稅率表，調整前后的計算方法如下表：

(1)假如小紅某月的工資、薪金等所得稅前收入總和不高于8000元，記表示總收入，表示應納的稅，試寫出調整前后關于的函數(shù)表達式；

(2)某稅務部門在小紅所在公司利用分層抽樣方法抽取某月100個不同層次員工的稅前收入，并制成下面的頻數(shù)分布表：

先從收入在及的人群中按分層抽樣抽取7人，再從中選4人作為新納稅法知識宣講員，求兩個宣講員不全是同一收入人群的概率；

（3）小紅該月的工資、薪金等稅前收入為7500元時，請你幫小紅算一下調整后小紅的實際收入比調整前增加了多少?

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（1）求的值，并估計這100名學生的平均成績（同一組中的數(shù)據用該組區(qū)間的中點值為代表）；

（2）在抽取的100名學生中，規(guī)定：比賽成績不低于80分為“優(yōu)秀”，比賽成績低于80分為“非優(yōu)秀”.請將下面的2×2列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99%的把握認為“比賽成績是否優(yōu)秀與性別有關”？

優(yōu)秀

非優(yōu)秀

合計

男生

40

女生

50

合計

100

參考公式及數(shù)據：.

0.05

0.01

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

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【題目】如圖，在四棱錐中，且和分別是棱和的中點.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求直線與平面所成的角的正弦值.

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