Question

某農(nóng)科所對冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關系進行分析研究，他們分別記錄了12月1日至12月5日的每天晝夜溫差與實驗室每天每100棵種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料：

日期	12月1日	12月2日	12月3日	12月4日	12月5日
溫差x（℃）	10	11	13	12	8
發(fā)芽y（顆）	23	25	30	26	16

該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這5組數(shù)據(jù)中選取3組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，剩下的2組數(shù)據(jù)用于回歸方程檢驗．
參考公式：回歸直線的方程是：

?

y

=bx+a，其中b=

n i=1 (xi- . x )(yi- . y )

n i=1 (xi- . x )2

，a=

.

y

-b

.

x

；其中

?

y

i是與xi對應的回歸估計值．
（Ⅰ）若選取的是12月1日與12月5日的2組數(shù)據(jù)，請根據(jù)12月2日至12月4日的數(shù)據(jù)，求出y關于x的線性回歸方程

?

y

=bx+a；
（Ⅱ）若由線性回歸方程得到的估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問（Ⅰ）中所得的線性回歸方程是否可靠？
（Ⅲ） 請預測溫差為14℃的發(fā)芽數(shù)．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，先做出x，y的平均數(shù)，即做出本組數(shù)據(jù)的樣本中心點，根據(jù)最小二乘法求出線性回歸方程的系數(shù)，寫出線性回歸方程．
（II）根據(jù)估計數(shù)據(jù)與所選出的檢驗數(shù)據(jù)的誤差均不超過2顆，就認為得到的線性回歸方程是可靠的，根據(jù)求得的結果和所給的數(shù)據(jù)進行比較，得到所求的方程是可靠的．
（III）將x=14代入（I）中所得的回歸直線方程，即可得到溫差為14℃的預報值．

解答：解：（I）由數(shù)據(jù)，求得

.

x

=12，

.

y

=27．
由公式，求得b=

5

2

，a=

.

y

-b

.

x

=-3
∴y關于x的線性回歸方程為

?

y

=

5

2

x-3．
（II）當x=10時，

?

y

=

5

2

×10-3=22，|22-23|＜2；
同樣當x=8時，

?

y

=

5

2

×8-3=17，|17-16|＜2；
∴該研究所得到的回歸方程是可靠的．
（III）當x=14時，

?

y

=

5

2

×14-3=32，即溫差為14℃的發(fā)芽數(shù)約為32顆

點評：本題可選等可能事件的概率，考查線性回歸方程的求法，考查最小二乘法，考查估計驗算所求的方程是否是可靠的，是一個綜合題目．