（2013•上海）已知拋物線C：y2=4x 的焦點為F．
（1）點A，P滿足
AP
=-2
FA
．當點A在拋物線C上運動時，求動點P的軌跡方程；
（2）在x軸上是否存在點Q，使得點Q關于直線y=2x的對稱點在拋物線C上？如果存在，求所有滿足條件的點Q的坐標；如果不存在，請說明理由．
分析：（1）設出動點P和A的坐標，求出拋物線焦點F的坐標，由
AP
=-2
FA
得出P點和A點的關系，由代入法求動點P的軌跡方程；
（2）設出點Q的坐標，在設出其關于直線y=2x的對稱點Q′的坐標，由斜率關系及中點在y=2x上得到兩對稱點坐標之間的關系，再由點Q′在拋物線上，把其坐標代入拋物線方程即可求得Q點的坐標．
解答：解：（1）設動點P的坐標為（x，y），點A的坐標為（xA，yA），則
AP
=(x-xA，y-yA)，
因為F的坐標為（1，0），所以
FA
=(xA-1，yA)，
由
AP
=-2
FA
，得（x-xA，y-yA）=-2（xA-1，yA）．
即
x-xA=-2(xA-1)
y-yA=-2yA
，解得
xA=2-x
yA=-y

代入y2=4x，得到動點P的軌跡方程為y2=8-4x．
（2）設點Q的坐標為（t，0）．點Q關于直線y=2x的對稱點為Q′（x，y），
則
y
x-t
=-
1
2
y
2
=x+t
，解得
x=-
3
5
t
y=
4
5
t
．
若Q′在C上，將Q′的坐標代入y2=4x，得4t2+15t=0，即t=0或t=-
15
4
．
所以存在滿足題意的點Q，其坐標為（0，0）和（-
15
4
，0）．
點評：本題考查了軌跡方程，考查了直線和圓錐曲線間的關系，考查了代入法求曲線方程，考查了存在性問題的求解方法，屬中檔題．
練習冊系列答案
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（2013•上海）已知圓柱Ω的母線長為l，底面半徑為r，O是上底面圓心，A，B是下底面圓周上兩個不同的點，BC是母線，如圖，若直線OA與BC所成角的大小為
π
6
，則
l
r
=
3
3
．

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（2013•上海）已知真命題：“函數(shù)y=f（x）的圖象關于點P（a，b）成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f（x+a）-b 是奇函數(shù)”．
（1）將函數(shù)g（x）=x3-3x2的圖象向左平移1個單位，再向上平移2個單位，求此時圖象對應的函數(shù)解析式，并利用題設中的真命題求函數(shù)g（x）圖象對稱中心的坐標；
（2）求函數(shù)h（x）=log2
2x4-x
 圖象對稱中心的坐標；
（3）已知命題：“函數(shù) y=f（x）的圖象關于某直線成軸對稱圖象”的充要條件為“存在實數(shù)a和b，使得函數(shù)y=f（x+a）-b 是偶函數(shù)”．判斷該命題的真假．如果是真命題，請給予證明；如果是假命題，請說明理由，并類比題設的真命題對它進行修改，使之成為真命題（不必證明）．

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（2013•上海）已知a，b，c∈R，“b2-4ac＜0”是“函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的圖象恒在x軸上方”的（　�。�

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（2013•上海）已知向量
a
=(1，k)，
b
=(9，k-6)．若
a
∥
b
，則實數(shù) k=
-
3
4
-
3
4
．

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