Question

如圖，已知在坐標平面xOy內，M、N是x軸上關于原點O對稱的兩點，P是上半平面內一點，△PMN的面積為，點A的坐標為(1+)，=m· (m為常數)，.

(1)求以M、N為焦點且過點P的橢圓方程；

(2)過點B(-1，0)的直線l交橢圓于C、D兩點，交直線x=-4于點E，點B、E分的比分別為λ₁、λ₂,求證：λ₁+λ₂=0.

Answer 1

解：(1)設M(-c,0),N(c,0)(c＞0),P(x₀,y₀),則=(2c,0)·(x₀,y₀)=2cx₀,

2cx₀=2c,故x₀=1.                                                                    ①

又∵S_△PMN= (2c)|y₀|=,y₀=.                                      ②

∵=(x₀+c,y₀), =(1+),由已知(x₀+c,y₀)=m(1+),即.

故(x₀+c)=(1+)y₀.                                                      ③

將①②代入③，(1+c)=(1+)·,c²+c-(3+)=0,(c-)(c++1)=0,

∴c=,y₀=.                                                            

設橢圓方程為=1(a＞b＞0).

∵a²=b²+3,P(1,)在橢圓上，

∴=1.故b²=1,a²=4.

∴橢圓方程為+y²=1.                                                      

(2)①當l的斜率不存在時，l與x=-4無交點，不合題意.

②當l的斜率存在時，設l方程為y=k(x+1)，

代入橢圓方程+y²=1,

化簡得(4k²+1)x²+8k²x+4k²-4=0.                                                 

設點C(x₁,y₁)、D(x₂,y₂)，則

∵-1=，

∴λ₁=.                                              

λ₁+λ₂=［2x₁x₂+5(x₁+x₂)+8］,

而2x₁x₂+5(x₁+x₂)+8=2·+5·(8k²-8-40k²+32k²+8)=0,

∴λ₁+λ₂=0.