(本題滿分12分)
已知函數(shù)f (x)=x3+ ax2-bx (a, b∈R) .
(1)若y="f" (x)圖象上的點(1,-)處的切線斜率為-4,求y="f" (x)的極大值;
(2)若y="f" (x)在區(qū)間[-1,2]上是單調(diào)減函數(shù),求a + b的最小值.
(1)f (x)取極大值
(2)z=a+b取得最小值為
解:(1)∵f ′(x)=x2+2ax-b ,
∴ 由題意可知:f ′(1)=-4且f (1)= -,
解得:…………………………3分
∴ f (x)=x3-x2-3x。
f ′(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3).
令f ′(x)=0,得x1=-1,x2=3,
由此可知:
x
(-∞,-1)
-1
(-1, 3)
3
(3, +∞)
f ’(x)
+
0

0
+
f (x)

f (x)極大5/3

f (x) 極小

∴ 當(dāng)x=-1時, f (x)取極大值. …………………………6分
(2)∵y="f" (x)在區(qū)間[-1,2]上是單調(diào)減函數(shù),
∴f ′(x)=x2+2ax-b≤0在區(qū)間[-1,2]上恒成立.
根據(jù)二次函數(shù)圖象可知f ′(-1)≤0且f ′(2)≤0,即:
也即…………………9分
作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖:
當(dāng)直線z=a+b經(jīng)過交點P(-, 2)時,
z=a+b取得最小值z=-+2=,
∴z=a+b取得最小值為……………………12分
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A.B.
C.D.

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