Question

（13分） 已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，離心率等于，它的一個(gè)短軸端點(diǎn)點(diǎn)恰好是拋物線(xiàn) 的焦點(diǎn)。

（1）求橢圓C的方程；
（2）已知P（2,3）、Q（2，－3）是橢圓上的兩點(diǎn)，A,B是橢圓上位于直線(xiàn)ＰＱ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，
①若直線(xiàn)ＡＢ的斜率為，求四邊形ＡＰＢＱ面積的最大值；
②當(dāng)Ａ、B運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿(mǎn)足＝，試問(wèn)直線(xiàn)AB的斜率是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由。

Answer 1

試題分析：（1）根據(jù)離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，易求出a，b的值，得到橢圓C的方程．
（2）設(shè)出直線(xiàn)AB的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，求得四邊形APBQ的面積，從而可求四邊形APBQ面積的最大值；
（3）設(shè)直線(xiàn)PA的斜率為k，則PB的斜率為-k，將直線(xiàn)的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，即可求得得出AB的斜率為定值．
試題解析：（1）設(shè)C方程為（a＞b＞0），則。由，，得  故橢圓C的方程為。   4分
（2）①設(shè)（，），B（，），直線(xiàn)AB的方程為，代入中整理得，△＞0－4＜＜4，+=，=
四邊形APBQ的面積=，當(dāng)時(shí)
②當(dāng)＝時(shí)，PA、PB的斜率之和為0，設(shè)直線(xiàn)PA的斜率為，則PB的斜率為－，PA的直線(xiàn)方程為，代入中整理得
+=0，2+=，
同理2+=，+=，－=，
從而=，即直線(xiàn)AB的斜率為定值     13分