Question

【題目】已知函數(shù)且）.

(1)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；

(2)當(dāng)時(shí)，若不等式對(duì)于恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】(1)當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，證明見解析；(2).

【解析】

（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行變形，分類討論即可得到單調(diào)性；

（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，根據(jù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為對(duì)于恒成立，即可求解.

(1)

當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù).

證明如下：

任取，

則

因?yàn)?/span>，所以，，

所以，

所以當(dāng)時(shí)，

，，

所以，故函數(shù)在上是減函數(shù).

所以當(dāng)時(shí)，，

所以，所以，

故函數(shù)在上是增函數(shù).

(2)易知是奇函數(shù)，，

即.

當(dāng)時(shí)，由(1)知，在上是減函數(shù)，

從而在上是減函數(shù)，故對(duì)恒成立，

即對(duì)恒成立.

因?yàn)?/span>在上是減函數(shù)，

所以的值域?yàn)?/span>.

所以，故的取值范圍是.