Question

若橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的兩焦點(diǎn)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)均在橢圓內(nèi)部，則橢圓的離心率e的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，橢圓的兩焦點(diǎn)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為F₁'（0，-c）、F₂'（0，c）．由點(diǎn)F₁'與F₂'都在橢圓的內(nèi)部建立關(guān)于a、b、c的不等式，解出a＞

2

c，再利用橢圓離心率的公式加以計(jì)算，可得該橢圓的離心率范圍．

解答：解：∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的焦點(diǎn)為F₁（-c，0）、F₂（c，0），
∴兩焦點(diǎn)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為F₁'（0，-c）、F₂'（0，c）．
∵點(diǎn)F₁'與F₂'都在橢圓的內(nèi)部，
∴

02

a2

+

c2

b2

＜1，即

c2

a2-c2

＜1，解之得a＞

2

c，因此可得e=

c

a

＜

2

2

，
又∵橢圓的離心率e∈（0，1），∴該橢圓的離心率e∈（0，

2

2

）．
故答案為：（0，

2

2

）

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的離心率的取值范圍．著重考查了對(duì)稱點(diǎn)的求法、點(diǎn)到橢圓的位置關(guān)系和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．