Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求在上的最大值和最小值；

（2）設(shè)曲線與軸正半軸的交點(diǎn)為處的切線方程為,求證：對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，都有.

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出切線方程，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.

試題解析：（1)由，可得.

令，解得，或.

當(dāng)變化時(shí)， 的變化情況如表：

所以， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.

(2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則,.

曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.

令，則，所以,

由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減.

又因?yàn)?/span>，,所以當(dāng)時(shí)， .

當(dāng)時(shí)， ,所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，都有.

故對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)，都有.