Question

(20)已知函數(shù)f(x)=4x³-3x²cosθ+，其中x∈R，θ為參數(shù)，且0≤θ≤.

    (Ⅰ)當cosθ=0時，判斷函數(shù)f(x)是否有極值；

    (Ⅱ)要使函數(shù)f(x)的極小值大于零，求參數(shù)θ的取值范圍；

    (Ⅲ)若對(Ⅱ)中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)θ，函數(shù)f(x)在區(qū)間(2a-1，a)內(nèi)都是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

本小題主要考查運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值、解不等式等基本知識，考查綜合分析和解決問題的能力．

(Ⅰ)解：當cosθ=0時，f(x)=4x³+，則函數(shù)f(x)在(-∞，+∞)上是增函數(shù)，故無極值．

(Ⅱ)解：f′(x)=12x²-6xcosθ，令f′(x)=0，得

x₁=0，x₂=.

由O≤θ≤及(Ⅰ)，只考慮cosθ＞0的情況．

當x變化時，f′(x)的符號及f(x)的變化情況如下表：

 

x	(-∞,0)	0	（0，）		（，+∞）
f′(x)	+	0	-	0	+
f (x)		極大值		極小值

   

 因此，函數(shù)f（x）在x=處取得極小值f（），且

f（）=-.

   要使f（）＞0，必有-＞0，可得0＜cosθ＜，所以

＜θ＜.

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）與（，+∞）內(nèi)都是增函數(shù).

由題設(shè)，函數(shù)f(x)在(2a-1,a)內(nèi)是增函數(shù)，則a須滿足不等式組

由(Ⅱ),參數(shù)θ∈（）時，0＜cosθ＜.要使不等式2a-1≥cosθ關(guān)于參數(shù)θ恒成立，必有2a-1≥.

綜上，解得a≤0或≤a＜1.所以a的取值范圍是(-∞,0］∪［，1）